Iniciante (Solução por Renner Lucena)
Sabe-se que a força centrípeta é igual a gravitacional no movimento circular. Expressando isso:
$$! mw^{2}R = \frac{GMm}{R^{2}} $$
Sendo: $$w=\frac{2\pi}{T} $$ E cancelando $$m$$:
$$!(\frac{2\pi}{T})^{2} R^{3}= GM $$
$$!\frac{R^{3}}{T^{2}} = \frac{GM}{4{\pi}^{2}} = cte$$
Está mostrado, o raio ao cubo sobre o período ao quadrado é constante.
Intermediário (Solução por Victor Sales)
$$i)$$ Sendo $$L$$ o comprimento do rio, temos, de acordo com a figura, que o tempo para atrevessar o rio será:
$$!\Delta t = \frac{L}{V_B \sin{\theta}}$$
$$ii)$$ O arraste $$D$$ é dado por:
$$!D = (V_C + V_B \cos{\theta}) \Delta t = \frac{V_C + V_B \cos{\theta}}{V_B \sin{\theta}} L$$
$$!\Rightarrow D = \frac{V_C \mathrm{cossec}{\theta} + V_B \mathrm{cotg}{\theta}}{V_B} L$$
Para minimizar o arrasto, devemos ter:
$$!\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}{\theta}} = 0 \Rightarrow V_C (- \mathrm{cotg}{\theta}\mathrm{cossec}{\theta}) + V_B (- {\mathrm{cossec}^2}{\theta}) = 0$$
$$!\Rightarrow V_C \mathrm{cotg}{\theta} = – v_B \mathrm{cossec}{\theta}$$
$$!\Rightarrow \cos{\theta} = – \frac{V_B}{V_C}$$
Avançado (Solução por Victor Sales)
$$i)$$ Vamos calcular a força que a chuva exerce na chapa. Para isso, considere um volume de chuva $$\mathrm{d}V = L^2 \mathrm{d}y$$ acima da chapa. Nesse volume, há $$\mathrm{d}N = n \mathrm{d}V = n L^2 \mathrm{d}y$$ gotas de chuva. Como as colisões são elásticas temos, calculando a variação do momento das gotas:
$$!\mathrm{d}p = – \mathrm{d}N \, 2 m V = – 2 n m V L^2 \mathrm{d}y$$
A força exercida no bloca será, então:
$$!F = – \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = 2 n m V L^2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$$
$$!\Rightarrow F = 2 n m L^2 V^2$$
$$ii)$$ Com isso:
$$!N = P + F \Rightarrow N = Mg + 2 n m L^2 V^2$$
$$!\Rightarrow F_{at} = \mu N \Rightarrow F_{at} = \mu M (g + 2 \frac{m}{M} n L^2 V^2)$$
$$!M \ddot{x} = – F_{at} \Rightarrow \ddot{x} = a = – \mu (g + 2 \frac{m}{M} n L^2 V^2)$$
Ou seja, o movimento terá aceleração constante $$a$$ e velocidade inicial $$V_0$$. A distância percorrida pela chapa até parar será:
$$!D = – \frac{V_0^2}{2 a} \Rightarrow D = \frac{V_0^2}{2 \mu (g + 2 \frac{m}{M} n L^2 V^2)}$$
Deixe um comentário