$$\require{\cancel}$$
INICIANTE
Pela Lei de Wien, que relaciona o comprimento de onda tal que a radiância é máxima ($$\lambda_{max}$$) com a temperatura $$T$$ da estrela, que pode ser aproximada como um corpo negro, temos:
$$\lambda_{max} \cdot T=2.898\cdot 10^{-3}$$
$$T=5269K$$
Agora, sabemos que o fluxo bolométrico (energia por tempo por área) da estrela, $$F$$, é tal que $$F=\sigma T^4$$. Este se propaga a partir da estrela em todas as direções (esfericamente simétrico), e para uma distância igual ao raio da estrela, temos toda a energia emitida pela estrela por unidade de tempo, também conhecida como luminosidade, logo:
$$L=4\pi R^2 \sigma T^4$$
$$L=2.66\cdot 10^{26} W$$
INTERMEDIÁRIO
Assumindo que estrela está em equilíbrio, podemos utilizar a fórmula da Lei de Stevin para encontrar a pressão em função da densidade, campo gravitacional e raio:
$$\dfrac{dP}{dr}=-\rho g$$
No entanto, não sabemos ainda como se comportará o campo gravitacional. Primeiro, é importante esclarecer a qual campo gravitacional estamos no referindo. Como queremos a pressão em função do parâmetro $$r$$, pegaremos justamente o campo gravitacional a uma distância $$r$$ do centro. Para isso, imagine uma esfera de raio $$r$$. Sabemos que seu campo gravitacional é dado por $$g=\dfrac{Gm(r)}{r^2}$$. No entanto, teoricamente ainda há o campo gravitacional que o resto da estrela faz nessa região. Felizmente, é conhecido que o campo gravitacional dentro de uma “coroa” esférica é nulo. Dessa forma, o campo a uma distância $$r$$ é simplesmente $$g=\dfrac{Gm(r)}{r^2}$$. Agora, precisamos calcular $$m(r)$$. Pela definição de densidade, sabemos que em um elemento de volume $$dV$$ existe uma massinha $$dm=\rho dV$$. Aproveitando a simetria esférica do problema, sabemos que $$dV=4\pi r’^2dr’$$ (usamos r’ só para não confundir com o $$r$$ do raio da esfera). Logo,
$$dm=\rho dV$$
$$m(r)=\displaystyle\int\limits_0^r \dfrac{3\rho_c}{4\cancel{r’^2}}\,4\pi \cancel{r’^2}dr’=3\pi\rho_c\displaystyle\int\limits_0^rdr’$$
$$ m(r)=3\pi\rho_c r$$
Então, o campo gravitacional $$g(r)$$ é:
$$g(r)=\dfrac{Gm(r)}{r^2}=\dfrac{3\pi\rho_c G\,r}{r^2}$$
$$g(r)=\dfrac{3\pi\rho_c G}{r}$$
Agora que temos o campo gravitacional, podemos aplicar a Lei de Stevin:
$$\dfrac{dP}{dr’}=-\rho g=-\dfrac{3\rho_c}{4r’^2}\dfrac{3\pi\rho_c G}{r’}=-\dfrac{9\pi\rho_c^2G}{4r’^3}$$
$$dP=-\dfrac{9\pi\rho_c^2G}{4r’^3}dr’$$
É evidente que basta integrarmos os dois lados para encontrar o resultado, mas antes disso, é necessário discutir os limites de integração. Para $$r’=r$$, sabemos que $$P=P(r)$$. Em qual outro lugar sabemos o valor da pressão? Lembre-se que estamos assumindo o equilíbrio da estrela, ou seja, ela não está aumentando de tamanho nem nada. Isso nos diz que lá na superfície da estrela, a resultante das forças é nula. Entretanto, para fora da estrela, temos apenas vácuo, o qual não exerce pressão externa. Dessa forma, concluímos que $$P(R)=0$$, em que $$R$$ é o raio da estrela, pois, caso contrário, ela expandiria. Integrando:
$$\displaystyle\int\limits_{P(r)}^0 dP=\displaystyle\int\limits_r^R -\dfrac{9\pi\rho_c^2G}{4r’^3}dr’\Rightarrow P(r)-0=\dfrac{9\pi\rho_c^2G}{4}\displaystyle\int\limits_r^R \dfrac{dr’}{r^3}$$
$$P(r)=\dfrac{9\pi\rho_c^2G}{4}\left(\left.-\dfrac{1}{2r’^2}\right)\right|_r^R$$
$$P(r)=\dfrac{9\pi\rho_c^2G}{8}\left(\dfrac{1}{r^2}-\dfrac{1}{R^2}\right)$$
Infelizmente, o enunciado explicita que só podemos dar a resposta em função da massa $$M$$ da estrela, a distância $$r$$ ao centro e constantes, ou seja, precisamos trocar esse $$R$$ pelo $$M$$. Para fazer isso, note que a massa da estrela é simplesmente $$m(R)$$, portanto:
$$M=3\pi\rho_c R$$
$$R=\dfrac{M}{3\pi\rho_c}$$
Finalmente,
$$P(r)=\dfrac{9\pi\rho_c^2G}{8}\left(\dfrac{1}{r^2}-\dfrac{1}{\left(\frac{M}{3\pi\rho_c}\right)^2}\right)$$
$$P(r)=\dfrac{9\pi\rho_c^2G}{8}\left(\dfrac{1}{r^2}-\dfrac{9\pi^2\rho_c^2}{M^2}\right)$$
AVANÇADO
a) Para encontrar o semieixo maior $$a$$, basta utilizarmos o fato de que a energia total de uma órbita fechada é $$E_{tot}=-\frac{GMm}{2a}$$. Assim:
$$K+U=E_{tot} \Leftrightarrow \frac{mv_0^2}{2}-\frac{GMm}{R}=-\frac{GMm}{2a}$$
Logo:
$$a=\frac{1}{\frac{2}{R}-\frac{v_0^2}{GM}}$$
O período é dado pela Terceira Lei de Kepler:
$$T=\frac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{GM}}$$
b) Sabemos que, para toda elipse, $$r_1 + r_2 = 2a$$, onde $$r_1$$ e $$r_2$$ são as distâncias de um ponto da elipse até os focos primário ($$S$$) e secundário ($$F$$), respectivamente. Assim, como o ponto $$P$$ pertence à órbita elíptica e $$r_1=|SP|=R$$, temos que $$r_2=2a-R$$. Ou seja, todos os pontos que distam $$2a-R$$ do ponto $$P$$ são possíveis focos secundários, que equivale a uma circunferência de raio $$FP=2a-R$$
c) Novamente, sabemos que a soma das distâncias de um ponto da elipse até seus focos é $$2a$$. Assim:
$$|SQ|+|QF|=2a \Rightarrow |QF|=2a-|SQ|=2a-r$$
d) Recapitulando tudo o que vimos até aqui com um desenho:
No $$\Delta PQF$$ podemos utilizar a desigualdade triangular para determinar $$|PQ|$$ máximo:
$$|PQ| \leq |QF|+|FP| \Rightarrow |PQ|_{max}=4a-R-r$$
Note que o caso em que $$Q$$ e $$P$$ estão no periélio e afélio não é necessário: basta que o ângulo de lançamento seja escolhido tal que $$Q$$, $$F$$ e $$P$$ sejam colineares. Além disso, a escolha do triângulo $$\Delta QSP$$ não funciona pois ela exige que a posição do ponto $$Q$$ mude para a distância ser máxima, já que os pontos $$S$$ e $$P$$ são pré-determinados, e isso não é o que queremos. Estamos procurando um ângulo de lançamento qualquer (que muda somente a posição de $$F$$) que seja suficiente para alcançarmos um ponto $$Q$$ fixo.
e) Como estamos procurando pelo contorno dos pontos tal que $$|PQ|$$ é máximo, devemos fixar $$|PQ|=4a-R-r$$. Agora, olhando para o triângulo $$\Delta SQP$$ vemos algo interessante: a soma $$|SQ|+|PQ|$$ é fixa, não dependendo de $$r$$. Ou seja, para todos os pontos $$Q$$ o mais afastados possível de $$P$$, a condição que a soma das distâncias dos pontos $$S$$ e $$P$$ até $$Q$$ se mantém fixa é cumprida. Isso é a definição de uma elipse de focos $$S$$ e $$P$$ e semieixo maior $$a’$$ tal que $$2a’=4a-R \Rightarrow a’=2a-\frac{R}{2}$$, e também é conhecida como elipse de segurança. Ela delimita a região de pontos que podem ser atingidos para uma velocidade inicial fixa e ângulo de lançamento qualquer, ou seja, desde que nosso estudante fique fora dela, estará seguro.