Iniciante
Esse é um problema de princípio da casa e dos pombos: Chame de $$A$$ o bloco de dígitos $$12345$$. Agora olhe os números formados quando colamos blocos do tipo $$A$$. Mais especificamente para os números:
$$A,AA,AAA,…,AA…AA$$ (Onde o último número tem $$N+1$$ blocos $$A$$)
Como temos $$N+1$$ números e só há $$N$$ restos possíveis por $$N$$ podemos concluir que há dois dos números acima com o mesmo resto por $$N$$, digamos aqueles que tem $$i$$ e $$j$$ blocos $$A$$.
Assim, a diferença entre esses dois números será um número do tipo $$AAA…A00…0=B$$ com $$i-j$$ blocos $$A$$ e alguns zeros. Esse número é um múltiplo de $$N$$ e o nosso primeiro passo será multiplicar $$N$$ pelo número apropriado para obter $$BB$$. Como o enunciado nos diz que podemos eliminar grupos $$12345=A$$, basta eliminar os blocos $$A$$ e atingimos o número $$0$$ requerido.
Intermediário
Vamos escrever $$[x]=x-\{x\}$$ onde $${x}$$ é a parte fracionária, que é um número no intervalo $$[0,1)$$. Vamos olhar pra um número genérico da forma $$[\dfrac{x}{13}]$$ por um momento. Fazendo o algoritmo da divisão para o $$x$$ em relação ao divisor $$13$$ temos $$x=13q+r$$ e assim:
$$[\dfrac{x}{13}]=[\dfrac{13q+r}{13}]=q=\dfrac{13q+r}{13}-\dfrac{r}{13}=\dfrac{x}{13}-\dfrac{r}{13}$$
Logo, $$\{\dfrac{x}{13}\}=\dfrac{r}{13}$$ $$(1)$$.
Voltando ao problema, troque todas as partes inteiras como dissemos no início e a soma $$S$$ que queremos determinar será
$$\dfrac{1}{13}+\dfrac{3}{13}+…+\dfrac{3^{101}}{13} – \{\dfrac{1}{13}\}-\{\dfrac{3}{13}\}-…-\{\dfrac{3^{101}}{13}\}=X-Y$$.
A primeira parte é tranquila de calcular, afinal, o denominador é o mesmo e os numeradores são os termos de uma P.G.
Desse modo ficamos com $$X=\dfrac{\frac{3^{102}-1}{3-1}}{13}=\dfrac{3^{102}-1}{26}$$
Para ajeitar $$Y$$, usaremos $$(1)$$. Olhe os restos das potencias de $$3$$ por $$13$$
$$3^0 \rightarrow 1$$
$$3^1 \rightarrow 3$$
$$3^2 \rightarrow 9$$
$$3^0 \rightarrow 1$$
…
$$3^{101} \rightarrow 9$$
Isso nos diz que tal resto se repete com período $$3$$ e ficamos com:
$$Y=\{\dfrac{1}{13}\}+\{\dfrac{3}{13}\}+…+\{\dfrac{3^{101}}{13}\}=\dfrac{1}{13}+\dfrac{3}{13}+…+\dfrac{9}{13}=34\cdot (\dfrac{1}{13}+\dfrac{3}{13}+\dfrac{9}{13})=34$$
Logo, a soma que queríamos calcular é igual a $$X-Y=\dfrac{3^{102}-1}{26}-34$$ (claramente você não deve dar um resultado exato para o número $$3^{102}$$).
Avançado
Nossa meta será provar que o único número válido é o $$1$$. Para fazer isso vamos provar que, para todo primo $$p$$ podemos achar um $$a_i$$ que seja divisível por $$p$$.
Devemos fazer isso de um jeito sensato, testando números que tenham relação com $$p$$.
Ao olhar para alguns números como $$a_1,a_p$$ e mesmo $$a_{p-1}$$, vemos que nenhum deles funcionam de modo geral. Nossa cartada final (você pode tentar achar alguma naturalidade para isso fazendo muitos casos iniciais) será provar que $$p$$ divide $$a_{p-2}$$ para todo primo maior que $$3$$.
Pelo teorema de Fermat temos: $$6a_{p-2}=3\cdot 2^{p-1}+2\cdot 3^{p-1}+6^{p-1}-6\equiv 3+2+1-6=0 (mod.p)$$. Como $$p$$ não é $$2$$ nem $$3$$ e acabamos de ver que $$p|6a_{p-2}$$ então $$p|a_{p-2}$$.
Para achar um $$a_i$$ que seja múltiplo de $$2$$ ou de $$3$$ basta olhar para $$a_2=48$$.
Logo, se $$n$$ possui algum fator primo $$p$$, ele obrigatoriamente NÃO será primo com algum dos $$a_i`s$$ e concluímos a prova do problema.
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