INICIANTE
a) Vamos primeiramente calcular o $$\Delta t$$ entre as colunas I e II:
$$\Delta t = \frac{\sum_{n=1}^{6} (II_n-I_n)}{6}$$
$$\Delta t = 6,22 S$$
Assim, c é simplesmente:
$$c=\frac{d_{Sol-VISH}}{\Delta t}$$
$$c= 1,60*10^8 M/S$$
A incerteza de c só tem uma fonte: os dados da coluna II. Assim:
$$\frac{\delta c}{c} = \frac{\delta II}{II-I}$$
$$\delta c= 7,72*10^5 M/S$$]
b) Vamos primeiramente entender o que está acontecendo:
Na imagem, o ponto amarelo representa o Sol, o azul a Terra e o verde VISH. A reta azul e a reta rosa representam, respectivamente, a maior e a menor distância possíveis entre nosso planeta e VISH. às quais são associados o maior e o menor tempo que a luz leva para ir da Terra a VISH.
Assim, pelo gráfico, obtemos que esta variação de tempo é de aproximadamente 5,3 S. Sabemos também que:
$$a_{Terra}=\frac{d_{max}+d_{min}}{2}$$
$$a_{Terra}=\frac{c\Delta t}{2}$$
$$a_{Terra}= 4,24*10^8M$$
c) Sabemos que $$1UA=1,50*10^{11}m$$, logo:
$$4,24*10^8M=1,50*10^{11}m$$
$$1M=354m$$
Agora, podemos utilizar esta conversão para achar c:
$$3,0*10^8 m/s=1,60*10^8*354m/S$$
$$1S=189s$$
d) Como $$T_{VISH}=1000S$$, então:
$$T_{VISH}=1,89*10^5s$$
INTERMEDIÁRIO
a) A primeira equação necessária é:
$$m=m_0 + k sec(z)$$
A segunda equação trata-se da equação de Pogson aplicada a uma estrela de magnitude
0 e à estrela observada:
$$m-0=-2.5 \cdot log(F/F_0) \Longleftrightarrow2.5\cdot log(F)+m_0=2.5\cdot log(F_0)-k sec(z)$$
Quaisquer variações dessa equação são aceitas.
b) A tabela abaixo contém os valores que deveriam ser utilizados para construção do
gráfico, seguindo a ordem da tabela 1. As duas últimas colunas representam os dados
a serem plotados:
Usando-se esses dados, pode-se plotar os pontos e traçar a reta de tendência, obtendo,
portanto, o seguinte gráfico:
c)Para o coeficiente angular a, teremos:
$$a=\dfrac{N\sum xy -\sum x\sum y}{N\sum x^2-(\sum x)^2}$$
Sabendo que N = 13 (número de medições), realizamos os cálculos e chegamos em
a = −0, 2482.
Agora, para o o coeficiente linear b:
$$b=\dfrac{\sum x^2 \sum y-\sum x\sum xy}{N\sum x^2-(\sum x)^2}$$
Realizando os cálculos novamente, chega-se em b = 9, 660.
Agora, calcularemos as incertezas desses coeficientes. Para isso, primeiramente precisamos calcular a incerteza relacionada às medições de y, que pode ser estimada pela
seguinte equação:
$$\sigma_y=\sqrt{\dfrac{1}{N-2}\sum_{i=1}^N(y_i-b-a\cdot x)^2}$$
Desse modo, para $$\sigma_a$$, podemos usar a seguinte equação:
$$\sigma_a=\sigma_y\sqrt{\dfrac{N}{\Delta}} \longrightarrow \sigma_a\approx 0.09$$
Por fim, podemos escrever:
$$a=-0.25\pm 0.05$$
$$b=9.66\pm 0.09$$
*Todos os cálculos aqui expostos podem ser realizados na calculadora (para encontrar os coeficientes e suas incertezas, p.ex.), de acordo com os métodos descritos nessa ideia
AVANÇADO
O primeiro passo é entender o gráfico. Se a fonte sonora estivesse parada, evidentemente teríamos duas linhas retas de frequência constante $$f_0$$. Entretanto, o movimento da fonte causa um efeito doppler, fazendo com que a frequência captada varie de acordo com o gráfico dado.
a) Basta pegarmos o intervalo de tempo entre duas posições de mesma “fase” para o detector $$1$$ ou $$2$$, que corresponde ao tempo que a fonte demorou para dar uma volta e chegar na mesma posição, resultando na mesma frequência. Pelas curvas $$1$$ ou $$2$$, vemos que $$T=24s$$
b) É importante se perguntar o porquê das curvas dos detectores serem distintas. Como eles estão parados, a variação da frequência se dá pela mudança da velocidade radial da fonte, somente. Assim, podemos ver caso a caso:
- Ambos estão fora do círculo
- Ambos estão dentro do círculo
- Um está fora e outro está dentro do círculo
- Um está fora ou dentro do círculo, enquanto o outro está sobre a trajetória de $$S$$
*Efeito Doppler:
Quando a fonte $$S$$ está aproximando um detector estacionário $$D$$ com um ângulo $$\phi$$ entre sua velocidade $$v$$ e o detector, a frequência captada é:
$$f=f_0 \frac{1}{1-\large{\frac{v}{v_s}cos\phi}}$$
Com isso já podemos eliminar o caso [4], pois o ângulo $$\phi$$ iria rapidamente de $$0^{\circ}$$ para $$180^{\circ}$$, resultando em uma mudança brusca no gráfico, que não é observada
Além disso, vale notar que a frequência será máxima quando a velocidade radial for máxima e será mínima quando a velocidade radial for mínima
- Detector Fora:
Como $$\phi$$ pode variar de $$0$$ até $$360^{\circ}$$ frequência captada será máxima quando $$\phi=0$$ e mínima quando $$\phi=180^{\circ}$$. Logo, no caso limite, a fonte aponta diretamente para o detector e o triângulo $$\Delta OSD$$ é retângulo. Veja a figura do caso geral:
Assim, se ambos os detectores estivessem fora, as curvas $$1$$ e $$2$$ seriam idênticas com uma diferença de fase, já que a frequência só depende da velocidade radial, e não da distância percorrida. Eliminamos assim o caso [1]
- Detector Dentro:
Nesse caso achar qual é o valor de $$\phi$$ que maximiza/minimiza a velocidade radial é um pouco mais complicado. Veja a figura:
A condição de maximização ocorre quando $$cos\phi$$ é máximo, e como $$\phi+\beta=90^{\circ} \Rightarrow |cos\phi |=|sen\beta |$$, queremos o maior $$sen\beta$$ possível. Assim, podemos escrever uma Lei dos Senos:
$$\frac{R}{sen \gamma}=\frac{D_i}{sen\beta}\Rightarrow sen\beta=sen\gamma \frac{D_i}{R}$$
Como $$R$$ e $$D_i$$ são fixos, $$sen\beta$$ é máximo quando $$sen\gamma=1$$, ou seja, quando $$\gamma=90^{\circ}$$.
Dessa forma, a frequência é máxima quando $$\gamma=90^{\circ}$$ e, analogamente, a frequência é mínima quando $$\gamma=270^{\circ}$$*
Agora, se ambos os detectores estão dentro do círculo, existem duas possibilidades: eles estão a uma mesma distância do centro ou eles estão a distâncias diferentes do centro. A primeira não é verdadeira pois, caso fosse, as curvas seriam idênticas com apenas uma mudança de fase, que não é observada. No segundo caso, repare que as diferenças de tempo entre as frequências máximas e mínimas, comparando esse valor para cada detector, seriam diferentes (a fonte percorre arcos diferentes). Porém, isso não é observado: os intervalos de tempo para cada detector entre um máximo e um mínimo são de $$9s$$ (igual para ambos). Dessa forma, o caso [2] também está incorreto, nos restando somente o caso [3] como correto.
Agora basta determinarmos qual detector está dentro e qual está fora. Já vimos que a maior frequência possível corresponde ao caso em que um detector está fora do círculo. Como o outro detector está dentro do círculo, a curva $$1$$ corresponde ao detector externo, enquanto a curva $$2$$ corresponde ao detector interno. Assim, podemos fazer a seguinte figura:
c) A equação do efeito doppler é:
$$f = f_0 \frac{\large{v_{rel OBS-SOM}}}{\large{v_{rel EMIS-SOM}}}$$
Assim, vendo as situações em que a frequência captada $$f$$ pelo detector $$1$$ é máxima (($$f_{max}=1300Hz$$) e mínima ($$f_{min}=800Hz$$):
$$f_{max}=f_0 \frac{v_s}{v_s – v}$$
$$f_{min}=f_0 \frac{v_s}{v_s + v}$$
Divindo essas equações:
$$\frac{f_{max}}{f_{min}}=k=\frac{v_s + v}{v_s – v}$$
Manipulando:
$$v=v_s \frac{k-1}{k+1}\approx 78,6m/s$$
Para achar a frequência:
$$f_0=f_{max}\frac{v_s-v}{v_s}=990Hz$$
d) No item c) calculamos a velocidade da fonte, $$v$$. Como o período $$T=24s$$, temos que o raio $$R$$ da trajetória é dado por:
$$R=\frac{vT}{2\pi}=300m$$
Agora, vamos pegar algumas informações importantes do gráfico:
Intervalo de tempo entre as mínima e máxima frequências detectadas pelo detector $$1$$: $$9s$$
Intervalo de tempo entre as mínima e máxima frequências detectadas pelo detector $$2$$: $$9s$$
Intervalo de tempo entre as máximas frequências detectadas pelos detectores $$1$$ e $$2$$: $$4s$$
Além disso, a velocidade angular da fonte é $$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{12}rad/s$$
Veja a figura:
Por simetria, os pontos $$A_0$$ e $$A_0’$$ são equidistantes do detector $$1$$, assim como os pontos $$A_i$$ e $$A_i’$$ são equidistantes do detector $$2$$. Como levam $$9s$$ para a fonte ir de $$A_0$$ até $$A_0’$$ (e de $$A_i$$ para $$A_i’$$):
$$2\alpha_0=\omega \Delta t = \frac{3\pi}{4}rad$$
$$2\alpha_i=\omega \Delta t = \frac{3\pi}{4}rad$$
Dessa maneira:
$$D_i=Rcos\alpha_i=115m$$
$$D_0=\frac{R}{cos\alpha_0}=784m$$
Além disso, como $$\alpha_0=\alpha_i$$, o ângulo em vermelho representado na figura abaixo também é $$\theta$$:
Agora precisamos utilizar o intervalo de tempo entre os picos observados nos detectores $$1$$ e $$2$$: $$4s$$. Note que existe um intervalo de tempo para o sinal emitido pela fonte em $$A_0$$ chegar ao detector, assim como também existe esse delay para a fonte em $$A_i$$. Ou seja, os $$4s$$ são os segundos que passam entre $$D_{fora}$$ e $$D_{dentro}$$ receberem o sinal. Para contabilizar com isso, devemos realizar a seguinte conta:
$$4s=\frac{\theta}{\omega}+\frac{A_iD_{dentro}}{v_s}-\frac{A_0D_{fora}}{v_s}$$
$$4s=\frac{\theta}{\omega}+\frac{Rsen\alpha_i}{v_s}-\frac{D_0sen\alpha_0}{v_s}$$
Fazendo os cálculos necessários, $$\theta=1,4rad$$
Portanto, a distância $$d$$ entre os detectores é:
$$d=\sqrt{D_0^2+D_i^2-2D_0D_icos\theta}\approx 773m$$
*fica como desafio para o leitor provar que a velocidade radial de um corpo orbitando uma estrela é máxima no semi-latus rectum!