Soluções Matemática – Semana 12 (uma mini-aula de potencia de ponto)

Problema Inciante

Sejam $$C$$ e $$D$$ os pontos de interseção de $$PO$$ com a circunferência, onde $$C$$ está entre $$P$$ e $$O$$. Considere também, sem perda de generalidade $$A$$ entre $$P$$ e $$B$$.

Do quadrilátero $$ABCD$$ ser inscritível, temos que $$\angle PAC=\angle PDB$$ e daí os os triângulos $$PAC$$ e $$PDB$$ são semelhantes pois têm dois pares de ângulos iguais, o que implica em $$\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{PD}{PB} \Longrightarrow PA\cdot PB=PC\cdot PD$$. Agora ficou um pouco melhor, pois devemos calcular $$PC\cdot PD$$ e os dois termo dependem visivelmente de $$R$$ e $$PO$$.

Temos $$PC=PO-OC=PO-R$$ e $$PD=PO+OD=PO+R$$ e daí $$PA\cdot PB=PC\cdot PD=(PO-R)(PO+R)=PO^2-R^2$$ como queríamos.

O caso para quando o ponto $$P$$ está dentro da circunferência é extremamente similar, então o deixaremos para você treinar.

 

Problema Intermediário

Antes vamos ver um fato sobre… triângulos! Seja $$ABC$$ um triângulo e $$D$$ o pé da perpendicular de $$A$$ ao lado $$BC$$. Veja que, por Pitágoras:

$$AB^2=BD^2+AD^2$$

$$AC^2=CD^2+AD^2$$

Subtraindo as duas equações ficamos com $$AB^2-AC^2=BD^2-CD^2$$. Interpretando essa informação de um jeito interessante, vemos que, a diferença entre os quadrados das distâncias de $$A$$ até $$B$$ e até $$C$$ só depende de onde está o pé da perpendicular baixada $$A$$ à reta $$BC$$. Desse modo, se dois pontos $$X_1,X_2,…,X_n$$  têm todos a mesma diferença das distâncias ao quadrado até os pontos $$B$$ e $$C$$ (seja ela $$k$$) então todos pertencem à reta perpendicular ao lado $$BC$$ que passa pelo ponto $$X$$ dessa reta tal que $$BX^2-CX^2=k$$.

Agora já podemos terminar o problema intermediário, pois, o que significa um ponto ter a mesma potência de ponto em relação a $$C_1$$ e a $$C_2$$? Significa que, sendo $$O_1$$ e $$O_2$$ os respectivos centros dessas circunferências e $$R_1$$ e $$R_2$$ os respectivos raios, o ponto $$X$$ está no eixo radical se, e somente se, $$XO_1^2-R_1^2=XO_2^2-R_2^2 \Longrightarrow XO_1^2-XO_2^2=R_1^2-R_2^2=constante$$. Logo, o lugar geométrico dos pontos com mesma potência de ponto relativa às duas circunferências é a reta perpendicular à reta $$O_1O_2$$ e que passa pelo ponto $$D$$ sobre essa reta que satisfaz $$O_1D^2-O_2D^2=R_1^2-R_2^2$$, que é ainda um pouco mais específico do que o que queríamos provar.

 

Problema Avançado

Aqui cabe uma correção: Tal proposição é para o caso em que as três circunferências não têm seus centros colineares.

Talvez esse seja o problema mais rápido, pois é nada mais nada menos do que uma aplicação imediata dos problemas anteriores. Seja $$D$$ a interseção dos eixos radicais de {$$C_1,C_2$$} com {$$C_2,C_3$$}. Sabemos que tal interseção é de fato um ponto pois os dois eixos radicais são retas não paralelas (dado que os centros das circunferências não são colineares e que um eixo radical é perpendicular ao seu par de centros).

De $$D$$ estar no eixo radical de {$$C_1,C_2$$}, a potencia de ponto de $$D$$ relativa a $$C_1$$ e $$C_2$$ é a mesma $$(1)$$

De $$D$$ estar no eixo radical de {$$C_2,C_3$$}, a potencia de ponto de $$D$$ relativa a $$C_2$$ e $$C_3$$ é a mesma $$(2)$$

De $$(1)$$  e $$(2)$$, a a potencia de ponto de $$D$$ relativa a $$C_1$$ e $$C_3$$ é a mesma $$\Longrightarrow$$ $$D$$ está no eixo radical de {$$C_3,C_1$$} e enfim concluímos que os três eixos radicais concorrem!