Escrito por Wanderson Faustino Patricio
Iniciante
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Análise de dados, calculo de incerteza, montagem de gráficos e tabelas[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Para instrumentos de medição, sabemos que existem duas maneiras de analisar a incerteza: a primeira é se o instrumento for digital, nesse caso a incerteza associada a esse instrumento é a menor medida apresentada (por exemplo um cronômetro, ou um termômetro digital), ou alguma relação entre as medições, e nesse caso o manual de instruções do aparelho deve trazer a maneira como a incerteza deve ser calculada (por exemplo um multímetro digital), o segundo é o caso para um aparelho analógico, neste caso a incerteza do aparelho é a menor medida possível a ser feita dividida por dois (por exemplo uma régua escolar).
Como o transferidor é um instrumento analógico, e sua incerteza é $$0,5^{\circ}$$ a sua menor medida é $$1,0^{\circ}$$.
b) Plotando os pontos em um gráfico temos:
Figura 01: Gráfico $$\alpha$$ x $$\theta$$
c) Para a construção dessa tabela teremos que calcular a incerteza da função seno. Utilizando a tabela de incertezas apresentada pela OBF, temos que:
$$\sigma_{\sin{x}}=\left|\cos{x}\right|\sigma_x$$
Com o ângulo $$x$$ medido em radianos.
Como o nosso ângulo foi dado foi dado em graus devemos convertê-lo para radianos multiplicando por $$\dfrac{\pi}{180}$$.
$$\sigma_{\sin{x}}=\left|\cos{x}\right|\cdot 0,5\cdot \dfrac{\pi}{180}$$
$$\rightarrow \sigma_{\sin{x}}= \dfrac{\pi}{360}\left|\cos{x}\right|$$
Aplicando os valores, montamos a seguinte tabela:
Figura 02: Tabela $$\sin{\alpha}$$ x $$\sin{\theta}$$
d) Plotando o gráfico de $$\sin{\alpha}$$ x $$\sin{\theta}$$:
Figura 03: Gráfico $$\sin{\alpha}$$ x $$\sin{\theta}$$
e) Organizando a lei de Snell, chegamos a:
$$\sin{\alpha}=\dfrac{1}{n}\sin{\theta}$$
Essa é uma equação do tipo $$Y=A+BX$$ com:
$$Y=\sin{\alpha}$$ , $$A=0$$ , $$B=\dfrac{1}{n}$$ e $$X=\sin{\theta}$$
Fazendo uma regressão linear com os pontos, e utilizando o método dos mínimos quadrados para calcular a incerteza dos coeficientes encontramos:
$$A=(-0,0002\pm 0,0003)$$ e $$B=(0,67337\pm 0,0005)$$
Como $$B=\dfrac{1}{n}$$:
$$n=B^{-1}$$
Utilizando a tabela de incertezas da OBF:
$$\sigma_n=\dfrac{\sigma_B}{B^2}$$
Aplicando valores, chegamos a:
$$\boxed{n=(1,485\pm 0,001)}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$1,0^{\circ}$$
b)
c)
d)
e)
$$\boxed{n=(1,485\pm 0,001)}$$
[/spoiler]
Intermediário
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Montagem de graficos e tabelas, cálculo de incertezas e calculo de valores. [/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Plotando o gráfico, temos:
Figura 04: Gráfico $$h$$ x $$t$$
b) Pela lei da condução térmica de Fourier, temos:
$$\dfrac{dq}{dt}=\dfrac{kA\Delta \theta}{x}$$
Onde $$x$$ é o tamanho da camada de gelo, e $$A$$ é a área da camada de gelo.
A quantidade de calor para congelar uma massa $$dm$$ de água é:
$$dq=dm\cdot L$$
$$dq=\rho A dx\cdot L$$
Logo:
$$\dfrac{\rho L A dx}{dt}=\dfrac{KA\Delta \theta}{x}$$
$$xdx=\dfrac{K\Delta \theta}{\rho L}dt$$
$$\displaystyle \int_{h_0}^{h} xdx=\dfrac{k\Delta \theta}{\rho L}\displaystyle \int_{0}^{t} dt$$
$$\rightarrow h^2=h_0^2+\dfrac{2K\Delta \theta}{\rho L}\cdot t$$
Essa equação já é uma equação linearizada, da tipo $$Y=A+BX$$, com:
$$Y=h^2$$ , $$A=h_0^2$$ , $$B=\dfrac{2K\Delta \theta}{\rho L}$$ e $$X=t$$
c) Como a função que estamos trabalhando é um polinômio, a incerteza de cada medida varia de acordo com a medida:
$$\sigma_{h^2}=2h\sigma_{h}$$
Organizando a tabela:
Figura 05: Tabela $$h^2$$ x $$t$$
Plotando o gráfio obtemos:
Figura 06: Gráfico $$h^2$$ x $$t$$
d) Fazendo uma regressão linear com os dados da Figura 05 obtemos:
$$A=(0,00251\pm 0,00001)m^2$$ e $$B=(1947\pm 3)\cdot 10^{-10} m^2s^{-1}$$
Como $$A=h_0^2$$:
$$h_0=\sqrt{A}$$ e $$\sigma_{h_0}=\dfrac{\sigma_A}{2\sqrt{A}}$$
Aplicando valores chegamos a:
$$\boxed{h_0=(0,0500\pm 0,0001)m}$$
Como $$B=\dfrac{2K\Delta \theta}{\rho L}$$:
$$K=\dfrac{\rho L B}{2\Delta \theta}$$
Utilizando a tabela de incertezas da OBF para as incerteza do produto e da divisão temos:
$$\sigma_K^2=\left( \dfrac{BL\sigma_{\rho}}{2\Delta \theta}\right)^2+\left( \dfrac{B\rho\sigma_{L}}{2\Delta \theta}\right)^2+\left( \dfrac{\rho L\sigma_{B}}{2\Delta \theta}\right)^2+\left(\dfrac{BL\rho\sigma_{\Delta \theta}}{2(\Delta \theta)^2}\right)^2$$
OBS: Como o $$\Delta \theta$$ é a diferença entre duas temperaturas, a sua incerteza não será apenas $$0,1^{\circ}$$, mas será necessário utilizar a regra da incerteza para a soma:
$$\sigma_{\Delta \theta}^2=0,1^2+0,1^2$$
$$\sigma_{\Delta \theta}=\sqrt{2}\cdot 0,1^{\circ}$$
Aplicando valores encontramos:
$$\boxed{K=(2,17\pm 0,02)\, W/(m\cdot K)}$$
e) Ajeitando a equação da altura temos:
$$h=\left[h_0^2\left(1+\dfrac{2K\Delta \theta t}{\rho Lh_0^2}\right)\right]^{\frac{1}{2}}$$
$$h=h_0\left(1+\dfrac{2K\Delta \theta t}{\rho Lh_0^2}\right)^{\frac{1}{2}}$$
Utilizando a aproximação binomial:
$$h=h_0\left(1+\dfrac{1}{2}\dfrac{2K\Delta \theta t}{\rho Lh_0^2}\right)$$
$$h=h_0+\dfrac{K\Delta \theta}{\rho L h_0}\cdot t$$
Perceba que essa é uma função linear entre $$h$$ e $$t$$, usando os dois primeiros valores para calcular o coeficiente angular temos:
$$m=\dfrac{0,0625-0,0566}{7200-3600}=\dfrac{K\Delta \theta}{\rho L h_0}=\dfrac{K\cdot 15}{1000\cdot 335200 \cdot 0,05}$$
$$\boxed{K=1,83\,W/(m\cdot K)}$$
Perceba que a diferença entre esse resultado e o resultado encontrado antes difere em $$15\%$$ o que é uma diferença muito grande, e portanto, esse método não é uma boa aproximação para essa faixa de valores.
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
b)
$$\rightarrow h^2=h_0^2+\dfrac{2K\Delta \theta}{\rho L}\cdot t$$
$$Y=h^2$$ , $$A=h_0^2$$ , $$B=\dfrac{2K\Delta \theta}{\rho L}$$ e $$X=t$$
c)
d)
$$\boxed{h_0=(0,0500\pm 0,0001)m}$$
$$\boxed{K=(2,17\pm 0,02)\, W/(m\cdot K)}$$
e)
$$\boxed{K=1,83\,W/(m\cdot K)}$$
[/spoiler]
Avançado
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Cálulo de ddp, resolução de EDO, cálculo de erros, montagem de tabelas e gráficos[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Parte A
a) Suponhamos que a corrente total que passa no circuito é $$I$$, e que a corrente que passa no capacitor é $$i=\dot Q$$, dessa maneira a corrente que passa no resistor paralelo ao capacitor é $$I-i$$. Como a ddp no capacitor é igual a ddp nesse resistor temos:
$$\dfrac{Q}{C}=R(I-i)$$
$$RI=\dfrac{Q}{C}+R\dot Q$$
A ddp do circuito é a soma da ddp do capacitor e do resistor em série com este, logo:
$$\varepsilon=\dfrac{Q}{C}+RI=\dfrac{Q}{C}+\dfrac{Q}{C}+R\dot Q$$
$$\boxed{\dot Q+\dfrac{2}{RC}Q=\dfrac{\varepsilon}{R}}$$
b) A solução particular será constante:
$$Q_p=X$$ e $$\dot{Q}_p=0$$
$$\rightarrow Q_p=\dfrac{\varepsilon C}{2}$$
A solução homogênea será do tipo:
$$Q_h=A\cdot e^{\lambda t}$$ e $$\dot{Q}_h=\lambda A\cdot e^{\lambda t}$$
$$\lambda A\cdot e^{\lambda t}+\dfrac{2}{RC}A\cdot e^{\lambda t}=0$$
$$\rightarrow \lambda=-\dfrac{2}{RC}$$
$$\rightarrow Q_h=A\cdot e^{-\frac{2}{RC}t}$$
c) A carga será a soma da homogênea com a particular:
$$Q(t)=A\cdot e^{-\frac{2}{RC}t}+\dfrac{\varepsilon C}{2}$$
Como a carga inicial é zero:
$$0=A+\dfrac{\varepsilon C}{2}$$
$$A=-\dfrac{\varepsilon C}{2}$$
A carga no capacitor será:
$$Q(t)=\dfrac{\varepsilon C}{2}\left(1-e^{-\frac{2}{RC}t}\right)$$
A ddp será:
$$\boxed{\varepsilon_c=\dfrac{\varepsilon }{2}\left(1-e^{-\frac{2}{RC}t}\right)}$$
Como $$\varepsilon_c+\varepsilon_R=\varepsilon$$:
$$\boxed{\varepsilon_R=\dfrac{\varepsilon }{2}\left(1+e^{-\frac{2}{RC}t}\right)}$$
Parte B
a) Se plotarmos como as tensões se comportariam em um mesmo gráfico teremos:
Figura 07: Gráfico das tensões
b) Utilizando a aproximação para a exponencial teremos:
$$e^{-\frac{2}{RC}t}\approx 1-\dfrac{2}{RC}t$$
Portanto, nas ddp’s do capacitor e do resistor:
$$\varepsilon_c\approx \dfrac{\varepsilon}{RC}\cdot t$$
e
$$\varepsilon_R\approx \varepsilon-\dfrac{\varepsilon}{RC}\cdot t$$
Portanto:
$$a_c=\dfrac{\varepsilon}{RC}$$ , $$a_R=-\dfrac{\varepsilon}{RC}$$ , $$b_c=0$$ e $$b_R=\varepsilon$$
c)
$$\tan{\alpha}=a_c=\dfrac{\varepsilon}{RC}$$
$$\boxed{C=\dfrac{\varepsilon}{R\cdot \tan{\alpha}}}$$
Parte C
a) Plotando os pontos:
Figura 08: Gráfico Tensão x Tempo
b) Se aproximarmos o gráfico na região próxima a $$t=0$$ teremos:
Figura 09: Gráfico extrapolado
Podemos ver que o coeficiente angular da reta extrapolada do gráfico vai ser:
$$a_c\approx \dfrac{3-0}{20-0}=\dfrac{\varepsilon}{RC}=\dfrac{6}{10000C}$$
$$\boxed{C=4mF}$$
c) Organizando a equação teremos:
$$\varepsilon_c=\dfrac{\varepsilon }{2}\left(1-e^{-\frac{2}{RC}t}\right)$$
$$\dfrac{2\varepsilon_c}{\varepsilon}=1-e^{-\frac{2}{RC}t}$$
$$e^{-\frac{2}{RC}t}=1-\dfrac{2\varepsilon_c}{\varepsilon}$$
$$-\dfrac{2}{RC}t=\ln{\left(1-\dfrac{2\varepsilon_c}{\varepsilon}\right)}$$
$$\boxed{\ln{\left(1-\dfrac{2\varepsilon_c}{\varepsilon}\right)}=-\dfrac{2}{RC}t}$$
Perceba que essa é uma função do tipo $$Y=A+BX$$ com:
$$Y=\ln{\left(1-\dfrac{2\varepsilon_c}{\varepsilon}\right)}$$ , $$A=0$$ , $$B=-\dfrac{2}{RC}$$ e $$X=t$$
d) Para o cálculo da incerteza associado ao logaritmo, utilizaremos a fórmula para o caso geral de uma função:
Considere uma fução:
$$f=f(x_1, x_2, x_3, … ,x_n)$$
A incerteza associada a essa função é dada por:
$$(\sigma_f)^2=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left[ \left(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2(\sigma_{x_i})^2\right]$$
Para a nossa função:
$$f(\varepsilon, \varepsilon_c)=\ln{\left(1-\dfrac{2\varepsilon_c}{\varepsilon}\right)}$$ e $$\sigma_{\varepsilon_c}=\sigma_{\varepsilon}=0,05V$$
Calculando as derivadas parciais:
$$\dfrac{\partial f}{\partial \varepsilon_c}=\dfrac{2}{2\varepsilon_c-\varepsilon}$$ e $$\dfrac{\partial f}{\partial \varepsilon}=\dfrac{2\varepsilon_c}{\varepsilon^2-2\varepsilon \varepsilon_c}$$
Logo:
$$(\sigma_f)^2=(\sigma_{\varepsilon})^2\left(\dfrac{4\varepsilon_c^2}{(\varepsilon^2-2\varepsilon \varepsilon_c)^2}+\dfrac{4}{(2\varepsilon_c-\varepsilon)^2}\right)$$
Aplicando valores:
$$\boxed{\sigma_f=0,1\sqrt{\dfrac{\varepsilon_c^2}{(36-12\varepsilon_c)^2}+\dfrac{1}{(2\varepsilon_c-6)^2}}}$$
Calculando os valores, montamos a seguinte tabela:
Figura 10: Tabela logaritmo x Tempo
Plotando o gráfico temos:
Figura 11: Gráfico Logaritmo x Tempo
e) Fazendo uma regressão linear encontramos:
$$A=(-0,003\pm0,005)$$ e $$B=(-0,0498\pm0,0001)$$
Temos que:
$$B=-\dfrac{2}{RC}$$
$$C=-\dfrac{2}{RB}$$
A incerteza da capacitância será:
$$\sigma_c=2\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_R}{R^2B}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_B}{RB^2}\right)^2}$$
Portanto:
$$\boxed{C=(4,0\pm 0,2)mF}$$
Perceba que a aproximação feita no item b) é uma aproximação muito boa.
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Parte A
a)
$$\boxed{\dot Q+\dfrac{2}{RC}Q=\dfrac{\varepsilon}{R}}$$
b)
$$\rightarrow Q_p=\dfrac{\varepsilon C}{2}$$
$$\rightarrow Q_h=A\cdot e^{-\frac{2}{RC}t}$$
c)
$$\boxed{\varepsilon_c=\dfrac{\varepsilon }{2}\left(1-e^{-\frac{2}{RC}t}\right)}$$
$$\boxed{\varepsilon_R=\dfrac{\varepsilon }{2}\left(1+e^{-\frac{2}{RC}t}\right)}$$
Parte B
a)
b)
$$a_c=\dfrac{\varepsilon}{RC}$$ , $$a_R=-\dfrac{\varepsilon}{RC}$$ , $$b_c=0$$ e $$b_R=\varepsilon$$
c)
$$\boxed{C=\dfrac{\varepsilon}{R\cdot \tan{\alpha}}}$$
Parte C
a)
b)
$$\boxed{C=4mF}$$
c)
$$Y=\ln{\left(1-\dfrac{2\varepsilon_c}{\varepsilon}\right)}$$ , $$A=0$$ , $$B=-\dfrac{2}{RC}$$ e $$X=t$$
d)
e)
$$\boxed{C=(4,0\pm 0,2)mF}$$
[/spoiler]