Escrito por Matheus Felipe R. Borges, Wesley Antônio e Rafael Moreno Ribeiro
Iniciante
Canhão no abrigo?
Um canhão localizado sob um abrigo que forma um ângulo $$\alpha$$ com a horizontal laça diversos projéteis. O canhão está localizado no ponto $$A$$, a uma distância $$L$$ da base do abrigo (Ponto $$B$$).
Figura 1: Ilustração da situação do problema iniciante.
Considere que o canhão não consegue atingir o ângulo de $$45^{\circ}$$ sem que o projétil colida com o abrigo. Se a velocidade inicial de cada projétil é $$v_0$$, mostre que o alcance máximo que um dos projéteis pode atingir é
$$A=\dfrac{{v_0}^2}{g}\sin{\left[2(\alpha+\gamma)\right]}$$
onde
$$\sin{\left(\gamma\right)}=\sqrt{\dfrac{gL\sin{\left(2\alpha\right)}}{{v_0}^2}}$$
Intermediário
As leis de Kepler do amor
(a) Suponha que um corpo sofra uma força restauradora central nos eixos $$x$$ e $$y$$, da forma $$\vec{F}_x = -kx \hat \imath$$ e $$\vec{F}_y = -ky \hat \jmath$$. Com isso, ache qual será o formato da trajetória que ele irá percorrer no plano $$xy$$.
Um casal de físicos, que acabaram de resolver a letra a) desse problema, decide viajar para um outro universo no dia dos namorados, com o intuito de se desconectarem do nosso. Ao chegarem lá, veem que a gravidade é um pouco diferente da que estamos acostumados, mas todas as outras leis da física permanecem iguais. Portanto, se dirigiram ao Centro de Pesquisas Físicas de LoveVerse, o universo para o qual tinham ido, e lá leram o seguinte texto sobre as leis de Kepler daquele universo:
- Planetas percorrem órbitas elípticas com o Sol no centro.
- Uma linha desenhada do planeta até o sol … (essa parte estava ilegível)
- O período orbital de todos os planetas são os mesmos, independentemente do tamanho dos eixo maior ou menor.
(b) Com isso, ajude o casal a descobrir que forma a lei gravitacional assume naquele universo e qual o complemento do enunciado da segunda lei, deixando-os tranquilos para aproveitarem o resto do dia dos namorados!
Avançado
Qu(ase)ímica
Urânio natural é composto de $$99,3 \% \ U^{238}$$, de modo que iremos ignorar a presença de outros isótopos na amostra inicial. A série de decaimento do $$U^{238}$$ já foi muito estudado devido às suas aplicações na obtenção de energia nuclear e se encontra na tabela abaixo, na qual um isótopo decai no isótopo da célula vizinha (à direita). A tabela também mostra a energia $$E_{decai.}$$ liberada por cada reação (expressa em $$MeV$$) e o logaritmo do tempo de meia vida de cada isótopo (isto é, $$log( \tau_{\small{\frac{1}{2}}} s^{-1} )$$).
Seguem alguns dados importantes (ou não) do Urânio:
Densidade – $$\rho = 1,89 \times 10^{4} \ kg \cdot m^{-3}$$
Condutividade térmica – $$\kappa = 27,5 \ W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}$$
Massa molar – $$\mu = 0,238 \ kg \cdot mol^{-1}$$
Temperatura de fusão – $$T_{0} = 1408 \ K$$
Tenha em mente também que $$N_{A} = 6,02 \times 10^{23} \ mol^{-1}$$ é o Número de Avogadro, $$e = 1,602 \times 10^{-19} C$$ é a carga elementar e que a temperatura ambiente é de $$T_{a} = 25^{o}C$$.
(a) Sabendo que todo o $$U^{234}$$ presente na amostra vem do decaimento do $$U^{238}$$, determine a porcentagem de $$U^{234}$$ no minério.
(b) Determine $$\dfrac{dQ}{d\nu}$$, a densidade volumétrica de produção de calor do urânio natural devido ao decaimento.
(c) Considere uma esfera de minério de urânio. Quão grande deve ser o seu raio, de modo que o interior da bola derreta?
Figura 2: Tabela para o problema avançado.
Lembre que $$\vec{\phi}_{q} = – k \vec{\nabla} T$$, em que $$\vec{\phi}_{q}$$ é o fluxo de calor, $$T$$ a temperatura e $$\vec{\nabla} = (\dfrac{\partial}{\partial x} \hat{x} + \dfrac{\partial}{\partial y} \hat{y} + \dfrac{\partial}{\partial z} \hat{z})$$ é o operador Nabla.