Escrito por Vitor Camargo
Iniciante
Assumimos que o filho do presidente é um agente racional e busca maximizar o lucro de sua pizzaria. Sua função lucro será dada por:
$$\pi=Q\cdot P-C(Q)$$
Utilizando os dados do enunciado, podemos encontrar o preço P em função da quantidade Q:
$$Q=120-2P$$
$$P=60-\frac{Q}{2}$$
Substituindo o preço e o custo na função do lucro:
$$\pi=Q(60-\frac{Q}{2})-\frac{3Q^2}{4}$$
$$\pi=60Q-\frac{5Q^2}{4}$$
Podemos encontrar a quantidade ótima $$Q^*$$ utilizando a fórmula do vértice da parábola:
$$Q^*=\frac{-b}{2a}$$
$$Q^*=\frac{-60}{2\cdot \frac{-5}{4}}$$
$$\boxed{Q^*=24}$$
Alternativamente, se você souber derivadas (o que não é necessário para nenhuma fase da OBECON), pode encontrar $$Q^*$$ derivando a função lucro e igualando a zero:
$$\frac{d\pi}{dQ}=60-2.5Q^*$$
$$60-2.5Q^*=0$$
$$\boxed{Q^*=24}$$
Intermediário
Considere um participante $$i$$ que atribui valor $$v_i$$ ao objeto leiloado. Seja $$l_i$$ o lance do participante $$i$$ e $$L$$ o lance máximo entre todos os outros participantes diferentes de $$i$$. Considere primeiro que ele pensa em fazer um lance $$l_i<v_i$$. Existem três situações possíveis: $$(i) \; l_i;v_i<L$$, $$(ii) \; l_i<L<v_i$$, $$(iii) \; L<l_i;v_i$$. No caso $$(i)$$, o participante poderia subir seu lance para $$v_i$$ que continuaria com o mesmo payoff, já que o vencedor seria o lance $$L$$. Em $$(ii)$$ e $$(iii)$$, o participante poderia subir seu lance para $$v_i$$ que ele ganharia e pagaria $$L$$ do mesmo jeito. Caso pense em fazer um lance $$l_i>v_i$$, existem outras três situações: $$(i) \; L>l_i;v_i$$, $$(ii) \; l_i>L>v_i$$, $$(iii) \; l_i;v_i>L$$. Em $$(i)$$, o participante não ganharia de qualquer forma. Em $$(iii)$$, o participante poderia abaixar seu lance para $$v_i$$ que continuaria ganhando e pagando o mesmo valor. E, em $$(ii)$$, o participante ganharia, porém pagaria $$L>v_i$$ e teria payoff negativo, já que $$v_i-L<0$$; neste caso, seria preferível fazer um lance de $$v_i$$, pois seu payoff seria $$0$$. Para qualquer situação, portanto, o participante teria payoff igual ou maior ajustando seu lance para $$v_i$$. ■
Avançado
A volatilidade de um ativo ou portfolio será dado por seu desvio padrão. Portanto, o primeiro passo é encontrar sua variância.
A variância de um portfolio com $$n$$ ativos é dada por:
$$\sigma_p^2=\displaystyle \sum_{i}^{n} \omega_i^2 \sigma_i^2 + \sum_{i \neq j}^{n} \omega_i \omega_j \sigma_{ij}$$
Podemos substituir $$\sigma_{ij}$$ por $$\sigma_i\sigma_j\rho_{ij}$$ para obtermos uma expressão que use apenas os dados fornecidos:
$$\sigma_p^2=\displaystyle \sum_{i}^{n} \omega_i^2 \sigma_i^2 + \sum_{i \neq j}^{n} \omega_i \omega_j \sigma_i\sigma_j\rho_{ij}$$
onde $$\omega_i$$ é o peso do ativo $$i$$ no portfólio, $$\sigma_i$$ sua volatilidade e $$\rho_{ij}$$ a correlação entre cada dois ativos.
Agora basta substituir os dados do enunciado na expressão. Temos:
$$\sigma_p^2=(0.58)^2(0.187)^2+(0.42)^2(0.313)^2+2(0.58)(0.42)(0.187)(0.313)(0.38)$$
$$\sigma_p^2=0.04$$
Com a variância em mãos, podemos encontrar o desvio padrão e, consequentemente, a volatilidade:
$$\sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2}$$
$$\sigma_p=\sqrt{0.04}$$
$$\boxed{\sigma_p = 20\%}$$