Problema 5.
Seja $$ABC$$ um triângulo acutângulo de circuncentro $$O$$. Seja $$M$$ o ponto médio de $$AB$$ e $$K\neq C$$ o segundo ponto de interseção dos circuncírculos dos triângulos $$ABC$$ e $$CMO$$. As retas $$CK$$ e $$OM$$ encontram-se em $$P$$. Prove que $$\angle KAP = \angle MCB$$.
Solução de João Ferreira.
Seja $$\omega$$ o circuncírculo de $$ABC$$.
Sejam $$P’$$ a interseção das tangentes por $$A$$ e $$B$$ a $$\omega$$ e $$K = P’C\cap \omega$$.
Provaremos por ponto fantasma, isto é, que $$K’MOC$$ é cíclico, resultando em $$K\equiv K’$$ e consequentemente $$P\equiv P’$$.
$$Pot_{\omega} P = P’K’\cdot P’C = P’B^2$$.
Pelas relações métricas em $$\triangle P’BO$$, $$P’M\cdot P’O = P’B^2$$.
Portanto $$P’K’\cdot P’C = P’M\cdot P’O \iff K’MOC$$ é cíclico $$\iff P\equiv P’$$.
Agora, pela definição, $$PC$$ é simediana de $$\triangle ABC \iff \angle PAK = \angle ACK = ACP = MCB \blacksquare$$.