Iniciante
Para esse problema, apresentaremos uma dica de como resolvê-lo e o encerraremos na semana $$18$$.
Esse é um problema para treinar a sua habilidade de “ter raça”, mas também a habilidade de ser esperto para deixar as contas mais fáceis, afinal, ninguém é de ferro.
Escreva o quadrado perfeito $$x^2$$ de 5 dígitos em sua representação decimal $$abcde$$ onde $$a,b,c,d,e$$ são algarismos e $$a>0$$. Pelo enunciado do problema, sabemos que o número $$bcde$$ é um quadrado perfeito, ou seja, um número da forma $$y^2$$. Agora:
$$x^2=abcde=10^4a+bcde=10^4a+y^2$$
Daí, segue que:
$$x^2-y^2=10^4a$$ e por fim $$(x-y)(x+y)=10^4a$$.
Veja que agora utilizamos de uma maneira inteligente o fato dos números sugeridos serem quadrados perfeitos. Tente finalizar o problema com essa dica!
Intermediário
Vamos contar o número de modos de escolher um divisor de $$n$$:
Ao olhar para um divisor para um divisor $$d$$ de $$n$$ logo podemos notar que os fatores primos de $$d$$ estão contidos no conjunto $${p_1, p_2, …, p_k}$$. Vamos então escrever $$d$$ como $$p_1^{b_1}p_2^{b_2}…p_k^{b_k}$$, onde, para todo $$0<i<k+1$$, temos que $$0\le b_i\le a_i$$.
Assim, o número de modos de escolhermos um dado $$b_i$$ seria $$a_i+1$$. Como a escolha de todos os $$b_i$$’s implica numa escolha bem definida do nosso $$d$$, sabemos que o número de modos de escolhermos $$d$$ (e portanto o número de divisores de $$n$$) é o mesmo modo de escolhermos um grupo $$(b_1,b_2,…,b_k)$$, que será $$(b_1+1)(b_2+1)…(b_k+1)$$.
Avançado
Considere o tabuleiro como uma matriz $$13\times13$$. Olhe para a diagonal principal e para todas as diagonais do tabuleiro que são paralelas a ela. Contando, temos ao todo $$25$$ dessas diagonais (contando inclusive as diagonais que contem somente $$1$$ casinha, que são as que estão no canto direito superior e a no canto esquerdo inferior). Começando pela diagonal que cobre apenas a casa do canto superior direito e indo até a diagonal que cobre só a casa do canto inferior esquerdo, numere as diagonais de $$1$$ a $$25$$ em ordem. Veja que, toda vez que vamos de uma casa para uma outra casa vizinha, necessariamente mudamos de uma diagonal $$i$$ para a diagonal $$i+1$$ ou para a diagonal $$i-1$$, ou seja, um deslocamento de exatamente $$1$$.Como esse descolamento de diagonal resulta em um aumento ou diminuição de $$1$$ no número presente nas casinhas teremos que números em diagonais de mesma paridade terão mesma paridade e números em diagonais de paridade diferentes terão paridades diferentes. Fazendo o caminho de uma casa com número $$2$$ até uma casa de tamanho $$24$$ temos que passar por ao menos 1 casa que contenha cada um dos números $$3,4,5,…,23$$ já que o caminho é discreto (cresce ou decresce de $$1$$ em $$1$$). Considere um $$2$$ na diagonal $$a$$, com $$a<13$$, sem perda de generalidade. Se houver um $$24$$ em uma casa de diagonal $$b$$, sabemos que o menor caminho de nosso $$2$$ até esse $$24$$ inclui precisamente $$(b-a)+1$$ casinhas. Além do mais, sabemos que $$a$$ e $$b$$ tem mesma paridade do fato de que $$2$$ e $$24$$ tem mesma paridade. Mas, como esse caminho contém as casinhas $$2,3,…,24$$ teremos que $$|b-a|+1\ge 23$$. De $$a<13$$ obtemos:
$$b\ge 22+a$$.
Se $$a\ge 3$$ temos $$b\ge 25 \Rightarrow b=25$$. Mas na diagonal $$25$$ só há uma casinha, que nos dá um absurdo, pois temos dois números $$24$$ no tabuleiro, o que requer ao menos dois espaços possíveis para colocá-lo. Logo $$a\le 2$$.
Como os números $$2$$ presentes no tabuleiro tem de ter diagonais de mesma paridade e na diagonal $$1$$ só há um casinha disponível, concluímos que as duas casas com número $$2$$ estão na diagonal de número $$2$$. Desse modo, temos:
$$b\ge 24$$
Como $$b$$ tem a mesma paridade de $$a$$ e $$b\le 25$$ temos $$b=24$$ e assim as duas casinhas com número $$24$$ estão na diagonal de número $$24$$.
Por fim, veja que todos os caminhos mínimos que levam de uma casinha de com o número $$2$$ até uma casinha de tamanho $$24$$ passando exatamente $$1$$ vez por cada uma das diagonais entre elas (tais caminhos passam por 23 diagonais e portanto contém $$23$$ números) passam pelos números números $$2,3,4,…,23,24$$. Logo, podemos concluir que a diagonal $$i$$ é composta por casinhas com o número $$i$$ para todo $$2\le i\le 24$$. Logo, o número de casas com o número $$13$$ procurado é o número de casas da diagonal de número $$13$$, que é $$13$$.
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