Iniciante
Se $$p \neq 5$$ é um primo ímpar, prove que $$(p^2-1)$$ ou $$(p^2+1)$$ é divisível por 10.
Intermediário
Cada ponto de coordenadas inteiras no plano cartesiano é coberto com as cores $$1, 2, …, n$$. Mostre que existe um retângulo formado com vértices de mesma cor.
Avançado
Considere um tabuleiro $$a \times b$$ $$(a \rightarrow horizontal, b \rightarrow vertical)$$. Temos dois tipos de peças: $$1 \times m$$ ($$1$$ quadrado de altura e $$m$$ de largura, que só podem ser usadas na horizontal) e $$n \times 1$$ ( $$n$$ quadrados de altura e $$1$$ de largura, que só podem ser usadas na vertical).
Assuma que o tabuleiro foi completamente coberto por essas peças sem sobreposições. Prove que $$m|a$$ ou $$n|b$$.
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