Iniciante
Em Busca do Círculo
Representando o vetor velocidade no hodógrafo para dois instantes separados por um intervalo de tempo \(\Delta t\) muito pequeno:
Como o hodógrafo possui raio \(v\), temos, a partir do triângulo formado (\(\Delta \theta << 1\)):
\[\Delta v = 2v\sin{\dfrac{\Delta\theta}{2}} \approx v\Delta \theta\]
Como \(\Delta \vec{v}\) é aproximadamente perpendicular a \(\vec{v}\), concluímos que a aceleração se dá na direção radial, como esperado (a velocidade é tangencial na órbita real). Ainda, sabemos que \(\Delta \theta/\Delta t=v/R\). Assim,
\[a_{cp}=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=v\dfrac{\Delta \theta}{\Delta t}=\boxed{\dfrac{v^2}{R}}\]
Intermediário
Encontrando o Círculo
a) Da segunda lei de Newton:
\[-\dfrac{GMm}{r^2}\hat{r}=m\dfrac{d\vec{v}}{dt}\]
Utilizaremos a definição de momento angular para nos livrar da dependência temporal da equação acima:
\[L=mr^2\dfrac{d\theta}{dt}\Rightarrow dt=\dfrac{r^2}{h}d\theta\]
\[-\dfrac{\mu}{r^2}\hat{r}=\dfrac{h}{r^2}\dfrac{d\vec{v}}{d\theta}\]
\[\dfrac{d\vec{v}}{d\theta}=-\dfrac{\mu}{h}\hat{r}\]
Precisamos provar que tal equação realmente descreve um círculo e encontrar o seu raio. Perceba que, dada uma variação infinetesimal \(d\theta\) da anomalia verdadeira, \(d\vec{v}\) possui módulo constante igual a \(\mu d\theta/h\), e aponta na direção \(-\hat{r}\). Isso é idêntico ao problema anterior, com \(\mu/h\) correspondendo ao raio do hodógrafo e \(-\hat{r}\) à sua direção tangencial; porém, agora, o módulo da velocidade pode variar ao longo da órbita. Para conciliar isso com o formato circular da curva descrita por esse vetor, devemos ter que a origem do espaço de velocidades não corresponde necessariamente ao centro do hodógrafo e que \(\theta\) é medido a partir de uma dada direção em relação a esse centro. Assim, um círculo como o desenhado abaixo obedece a todas as restrições da equação acima e de uma órbita kepleriana arbitrária, devendo corresponder à solução do problema.
b) A maior velocidade ocorre no periastro e a menor ocorre no apoastro. Isso nos permite desenhar:
O raio é dado por
\[\boxed{\dfrac{v_p+v_a}{2}}\]
E a distância entre o centro e a origem é
\[v_p-\dfrac{v_p+v_a}{2}=\boxed{\dfrac{v_p-v_a}{2}}\]
c) Similarmente: 
Com ambos o raio e a distância entre o centro e a origem iguais a
\[\boxed{\dfrac{v_p}{2}}\]
Avançado
Desvendando o Círculo
a) Para resolver esse item, utilizaremos a equação polar de uma cônica em função da anomalia verdadeira:
\[r(\theta)=\dfrac{p}{1+e\cos{\theta}}\]
Onde \(e\) é sua excentricidade e \(p=h^2/\mu\) o seu parâmetro. Começaremos calculando a velocidade radial em um ponto arbitrário da órbita:
\[v_r=\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{p}{(1+e\cos{\theta})^2}\cdot e\sin{\theta}\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{r^2e\sin{\theta}}{p}\dfrac{d\theta}{dt}\]
\[x=r\cos{\theta}\Rightarrow v_x=\dfrac{dr}{dt}\cos{\theta}-r\sin{\theta}\dfrac{d\theta}{dt}=r\sin{\theta}\left(\dfrac{e\cos{\theta}}{1+e\cos{\theta}}-1\right)\dfrac{d\theta}{dt}\]
\[v_x=-\dfrac{r^2\sin{\theta}}{p}\dfrac{d\theta}{dt}=-\dfrac{h\sin{\theta}}{p}=-\dfrac{\mu}{h}\sin{\theta}\]
Onde utilizamos que \(h=r^2\tfrac{d\theta}{dt}\). Analogamente, no eixo \(y\)
\[y=r\sin{\theta}\Rightarrow v_y=\dfrac{dr}{dt}\sin{\theta}+r\cos{\theta}\dfrac{d\theta}{dt}=r\left(\dfrac{e\sin^2{\theta}}{1+e\cos{\theta}}+\cos{\theta}\right)\dfrac{d\theta}{dt}\]
\[v_y=\dfrac{r^2 (e+\cos{\theta})}{p}\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{\mu}{h}(e+\cos{\theta})\]
Dessas equações temos que
\[\boxed{v_x^2+\left(v_y-\dfrac{\mu e}{h}\right)^2=\left(\dfrac{\mu}{h}\right)^2}\]
Que é a equação de um círculo de raio \(\mu/h\) e centro em \((v_x,v_y)=(0,\mu e/h)\).
b) Podemos encontrar o formato do hodógrafo diretamente de sua equação: 
Com a principal diferença entre eles sendo a posição relativa de centro e origem.