Iniciante
A análise dimensional nos permite achar essa área só com alguns simples argumentos, a área tem dimensão de comprimento ao quadrado, logo nossas grandezas devem se combinar tal que a dimensão no final seja a mesma dimensão de área.
Precisamos ter conhecimento que:
$$[G]=M^{-1} L^3 T^{-2}$$
$$[c]=L^1 T^{-1}$$
$$[m]=M$$
Nossa área é do tipo:
$$A=G ^x c ^y m ^z$$
Aplicando dimensão nos dois lados:
$$[A]=[G^x c^y m^z]=M^{(z-x)} \cdot L^{(3x+y)} \cdot T^{(-2x-y)}=L^2$$
Igualando os termos de M, L e T:
$$z-x=0$$
$$3x+y=2$$
$$2x+y=0$$
$$z=x$$
$$y=-2x$$
$$x=2=z$$
$$y=-4$$
$$A=G^2M^2/c^4$$
(Proporcional ao quadrado da massa)
Intermediário
A partícula n está do lado da mola n e n+1, esse fato não se aplica aos extremos, o que acarretaria problemas com a nossa solução, mas podemos pensar em algo pra resolver isso. Vamos corrigir esse fato tirando a primeira mola e a mola N da oscilação, se elas ficarem fixas não precisamos nos preocupar com o efeito de suas oscilações no sistema(n vai de 0 até N-1), a numeração da mola vai de 1 até N-1.
A partícula N estar parada implica:
$$x(N)=0$$
Para qualquer t
e a 0 estar parada:
$$x(0)=0$$
Para qualquer t
Sabendo que:
$$F=-Sx$$
(S é a constante da mola , melhor parar não confundir com o k da função horária)
Sendo x a deformação da mola, mas a deformação da mola n é dada por x(n)-x(n-1)
Desse modo temos:
$$F=S[x(n-1)-x(n)]-S[x(n)-x(n+1)] = -S[2x(n)-x(n+1)-x(n-1)]$$
Vamos desenvolver x(n+1)+x(n-1):
$$x(n+1)+x(n-1)=A \cos(wt) [\sin(n-1)k \cdot a +\sin(n+1)k\cdot a=A \cos(wt) \cdot 2 \cdot \sin(nka) \cos(ka) \rightarrow$$
$$2x(n)-x(n+1)-x(n-1)=2A \cos(wt) \sin(nka)[1-\cos(ka)]=4A\cos(wt) \sin(nka)\sin^2(ka/2)$$
Mas $$F(n)=-mw^2 x(n)$$
Logo:
$$Mw^2 A \cos(wt) \sin(nka)=4A \cos(wt) \sin(nka)\sin^2(nka)$$
$$w^2=\frac{4S}{m} \sin^2(ka/2)$$
$$w=2 \left(\frac{S}{m} \right)^{1/2} \cdot \sin(ka/2)$$
Contudo, a mola no começo e no fim deve ficar parada, logo:
$$kL=p \pi$$ (Com p inteiro) (L é o tamanho da cadeia, quase constante)
$$L=(N-1)a$$
$$K= \frac{p \pi }{(N-1)L} $$
$$w(p)=2(S/m)^{1/2} \sin \left[ \frac{p \pi}{2(N-1)L} \right]$$
Avançado
Sabendo que cada possibilidade obedece a estatística de boltzmann individualmente:
$$P(E)=e^{-\frac{E_{Total}}{KT}}$$
Mas $$E(total)=N E$$, em que N é o número de partículas no estado e E é a energia de uma partícula nesse estado.
Para achar o número de ocupação médio podemos usar uma média ponderada:
Número médio de partículas $$= \frac{N P(E)}{ \sum P(E)}=\frac{ \sum N e^{\frac{-N E}{KT}}}{\sum e^{\frac{-N E}{KT}}} $$
Chame 1/KT de y
Veja bem, o polinômio:
$$f(E)= \sum e^{-N \cdot E \cdot y}$$
A derivada de f(E) em relação a y é:
$$f’(E)= – E \sum N e^{-N \cdot E \cdot y} $$
$$-\frac{f’(E)}{ E }\cdot \frac{1}{f(E)} = \sum N \frac{e^{-N E y}}{ \sum e^{-N E/KT}} =$$ Número médio de partículas no estado de energia $$E=p(E)$$
Podemos expressar f(E) de maneira mais simplificada, já que estamos fazendo uma soma sobre todos os estados (N vai de zero a infinito), teremos uma soma de PG infinita:
$$f(E)=1+e^{- E \cdot y}+e^{-2 E \cdot y} +e^{-3 E \cdot y}+….. = 1/[1-e^{- E \cdot y}]$$
$$f’(E)=- E \frac{e^{-E y}}{[1-e^{ E y}]^2}$$
$$-\frac{f’(E)}{f(E)} \cdot \frac{1}{E}=\frac{e^{-E \cdot y}}{[1-e^{ -E \cdot y}]}=n(E)$$
Chegamos a finalmente:
$$p(E n)=\frac{1}{[e^{ \frac{E n}{KT}} -1]}$$
Que é a estatística de Bose-Einstein, essa que diz o número médio de ocupação pra um sistema bosônico. Num caso mais geral teríamos um (E-potencial químico) onde você vê E.
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