Problema 1
Seja $$ABC$$ um triângulo acutângulo, e $$D$$ um ponto sobre $$BC$$ tal que $$AD$$ é perpendicular a $$BC$$. A bissetriz do ângulo $$\angle DAC$$ intesecta o segmento $$DC$$ em $$E$$. Seja $$F$$ o ponto sobre a reta $$AE$$ tal que $$BF$$ é perpendicular a $$AE$$. Se $$\angle BAE = 45^{o}$$, calcule a medida do ângulo $$\angle BFC$$.
Teremos a seguinte figura: (Para esclarecimentos, $$\angle A = \angle BAC$$; $$\angle B = \angle ABC$$; $$\angle C = \angle ACB$$)
Note que $$\angle B = 90 – \angle BAD = 90 – (\angle BAE – \angle DAE)$$.
Como $$AE$$ bissecta $$\angle DAC = 90 – \angle C \implies \angle DAE = 45 – \frac{\angle C}{2}$$, teremos que $$\angle B = 90 – \left( 45 – \left( 45 – \frac{\angle C}{2} \right) \right) = 90 – \frac{\angle C}{2}$$.
Dessa forma, $$\angle A = 180 – \angle B – \angle C = 180 – \angle C – \angle \left( 90 – \frac{\angle C}{2} \right) = 90 – \frac{\angle C}{2}$$. Assim, $$\angle A = \angle B$$.
Assim, note que o triângulo $$ABC$$ é simétrico pela bissetriz do ângulo $$\angle C$$. Como os segmentos de reta $$AF$$ e $$BF$$ formam ambos $$45^{o}$$ com $$AB$$, a intersecção dos dois ($$F$$) estará no eixo de simetria. Assim, é fácil ver que (por simetria) $$\angle BFC = \angle AFC = \theta$$. Como $$\angle BFA = 90$$, teremos que $$2\cdot \theta + 90 = 360$$ $$\implies \theta = 135$$.