Escrito por Akira Ito, Gabriel Hemétrio, Matheus Felipe R. Borges, Lucas Tavares e Rafael Moreno
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Problema 1
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Dinâmica[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
A energia potencial de um corpo de massa $$m$$ sob um campo gravitacional uniforme, $$g$$, depende da altura em relação ao solo da seguinte forma:
$$U=mgh$$
Desse modo, para encontrarmos a energia em função do tempo precisamos encontrar a altura do corpo em função do tempo. Nesse sentido, o corpo está em queda livre, ou seja, está sob ação apenas da gravidade.
Assim pela segunda lei de Newton,
$$F=ma$$
$$mg=ma$$
$$a=g$$
O corpo está sob aceleração constante. Com isso, pelas equações da cinemática:
$$h=h_0-\dfrac{gt^2}{2}$$
Perceba que o sinal negativo vem do fato da aceleração ser contraria ao sentido positivo da altura. Portanto a energia potencial em função do tempo é
$$U=mgh_0-\dfrac{mg^2t^2}{2}$$
Essa descreve uma parabola em função do tempo com concavidade para baixo, logo o item que melho representa o comportamento é o item c).
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
item c)
[/spoiler]
Problema 2
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Hidroestática[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para solucionarmos a questão utilizaremos o conceito de que corpos mais densos afundam. Nesse sentido, inicialmente, sem o sal, o ovo afunda na água (aconselho o leitor a fazer o experimento em casa), concluímos assim que o ovo é mais denso que a água pura. Desse modo, com a adição de sal variamos a densidade da água:
$$d=\dfrac{m_{agua}+m_{sal}}{V_{mistura}}$$
Ao adicionar o sal, aumentamos a massa da mistura e variamos levemente o volume, assim o termo do numerador cresce mais rapidamente que o denominador, acarretando um aumento da densidade da água.
Portanto, com o aumento de densidade da água, chega um momento que a densidade da água e do ovo se igualam, possibilitando o ovo de permanecer suspenso no meio da solução, já que não existe a tendência de ninguém afundar devido às densidades iguais. Além disso, aumentando mais a densidade, o ovo passa flutuar, pois a água passa a ficar mais densa.
Com isso, o que acontece depende da concentração de sal na água, pois a densidade da mistura pode ser menor, igual ou maior que a do ovo, assim a resposta correta é o item d).
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
item d)
[/spoiler]
Problema 3
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Gravitação/astronomia[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para resolvemos o problema precisamos aplicar a 3 lei de Kepler, que para corpos orbitando o mesmo astro é valida a relação:
$$\dfrac{T^2}{R^3}=constante$$
Ou seja,
$$\dfrac{T^2}{(4R)^3}=\dfrac{(4\,h)^2}{(R)^3}$$
Desse modo,
$$\dfrac{T^2}{4^3}={(4\,h)^2}$$
$${T^2}=4^3\cdot{(4\,h)^2}$$
$$\boxed{T=32\,h}$$
Portanto, o gabarito é item d).
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
item d)
[/spoiler]
Problema 4
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Cinemática[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
O movimento da pedra é uma queda livre, ou seja, está sob ação apenas da gravidade. Pela 2 lei de Newton:
$$F=ma$$
$$mg=ma$$
$$a=g$$
Como o campo gravitacional é constante a aceleração também é constante. Portanto, o gabarito é item c).
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
item c)
[/spoiler]
Problema 5
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Cinemática[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
É importante entender que a aceleração resultante no objeto que será responsável pela redução do módulo de sua velocidade. Como o objeto está reduzindo o módulo de sua velocidade, a sua aceleração \(\vec{a}\) é contrária ao vetor velocidade \(\vec{v}\). Então, uma vez que o objeto se move para leste, \(\vec{v}\) aponta para leste e \(\vec{a}\) para oeste.
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Item c)
[/spoiler]
Problema 6
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Cinemática[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
A distância é a medida total percorrida, independentemente da direção. Por exemplo, se uma pessoa caminhar 3 quilômetros em uma trilha sinuosa, a distância percorrida será de 3 quilômetros. Já o deslocamento é a mudança de posição em relação a um ponto de referência, levando em consideração a direção. Por exemplo, se uma pessoa caminhar 3 quilômetros para o norte e depois 2 quilômetros para o sul, o deslocamento será de 1 quilômetro na direção norte. Em resumo, a distância é uma medida escalar, enquanto o deslocamento é uma grandeza vetorial. Abaixo, segue uma representação para se entender melhor o conceito de distância e deslocamento.
Para um movimento retilíneo, o deslocamento pode ser tanto positivo quanto negativo, enquanto a distância é sempre positiva.
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Item c)
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Problema 7
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Estática[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
No caso de equilíbrio estático, a força resultante é zero. De tal modo que, pela regra do polígono, podemos fazer a seguinte figura:
Pela lei dos senos, vemos que, então:
\[\dfrac{F_1}{\sin \theta_{23} }= \dfrac{F_2}{\sin \theta_{31} } = \dfrac{F_2}{\sin \theta_{12} }\]
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Item a)
[/spoiler]
Problema 8
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Estática/Hidrostática[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Nesse caso, quando o sistema for colocado na água, surgirá uma força de empuxo vertical, com sentido contrário à gravidade, atuando em cada um dos corpos. Uma vez que eles tem o mesmo volume, a magnitude do empuxo que atua em ambos os corpos será igual. Como sabemos, quanto maior a distância ao centro de rotação, maior o torque, assim, a torque exercido pelo empuxo do corpo da direita será maior e, com isso, a balança se inclinará para a esquerda.
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Item b)
[/spoiler]
Problema 9
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Calorimetria[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Nesse caso, o calor necessário para vaporizar a água é dado por:
\begin{equation*}
Q = mL
\end{equation*}
Substituindo os valores numéricos, obtemos:
\begin{equation*}
Q \approx 4500 \; \rm{J}
\end{equation*}
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Item e)
[/spoiler]
Problema 10
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Cinemática[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Pelo enunciado, vemos que a curva da posição do objeto em função do tempo é uma parábola. Tendo isso em vista, o corpo está em um movimento uniformemente acelerado, em que:
\[x = \dfrac{at^2}{2}\]
de modo que, com isso, sua aceleração é constante.
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Item d)
[/spoiler]
Problema 11
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Calorimetria [/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Nesse caso, haverá trocas de calor entre a água e o chumbo visando o equilíbrio térmico. Como a água está inicialmente mais fria, ela irá receber calor, de modo que sua temperatura final será maior; enquanto que, o chumbo, como está inicialmente mais quente, cederá calor, de modo que sua temperatura final será menor.
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Item d)
[/spoiler]
Problema 12
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Análise dimensional
[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para resolver essa questão, basta pensarmos com cuidado no significado da expressão $$kWh$$. Sabemos que um watt ($$W$$) corresponde a um consumo de 1 joule ($$J$$) a cada segundo ($$s$$). Isto é:
$$1 W = 1 J/s$$
O prefixo $$k$$ usado antes de $$W$$ representa o termo “kilo”. Assim como um $$km$$ equivale a $$1000 m$$, $$1 kW = 1000 W = 1000 J/s$$. Finalmente, sabemos que $$1 h = 60 min = 60 \cdot 60 s = 3600 s$$. Podemos então escrever:
$$1 kWh = 1 kW \cdot 1 h = 1000 J/s \cdot 3600 s = 3600000 J$$
$$\boxed{1 kWh = 3,6 \cdot 10^{6} J}$$
Logo:
$$92 kWh = 92 \cdot 3,6 \cdot 10^{6} J = 331,2 \cdot 10^{6} J = 3,312 \cdot 10^{8} J$$
Mantendo consistente o número de algarismos significativos do problema (somente 2), obtemos a resposta final de
$$\boxed{92 kWh = 3,3 \cdot 10^{8} J}$$
Portanto Item d)
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Item d)
[/spoiler]
Problema 13
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Tempo de vida média, matemática
[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Dado que o tempo de vida média da amostra é de $$12 min$$, a massa da substância cai pela metade a cada $$12 min$$ que se passam. Assim, começando com $$24 g$$ em $$t=0$$, em $$t = 12 min$$ restarão $$12 g$$ da amostra. Em $$t = 24 min$$ (passados ), teremos metade $$6 g$$ da substância. Finalmente, em $$t = 36 min$$, teremos somente mais $$3 g$$ da amostra. Podemos visualizar isso com o seguinte fluxograma:
$$24 g \xrightarrow[\div 2]{+12 min} 12 g \xrightarrow[\div 2]{+12 min} 6 g \xrightarrow[\div 2]{+12 min} 3 g$$
Portanto Item b).
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Item b)
[/spoiler]
Problema 14
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Dinâmica
[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Sabemos que o peso $$P$$ de um corpo de massa $$m$$ em uma região com aceleração gravitacional $$g$$ é dada por:
$$P = mg$$
Assim, sabendo a massa e um peso de um certo corpo, podemos calcular a aceleração da gravidade local. Escolhendo o segundo ponto do gráfico de modo a facilitar as nossas contas, podemos ver que sua massa vale $$50 kg$$ e seu peso é de $$300 N$$. Assim, o valor de $$g$$ é:
$$\boxed{g = \dfrac{P}{m} = \dfrac{300 N}{50 kg} = 6 m/s^2}$$
Portanto Item c).
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Item c)
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Problema 15
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Gravitação
[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Nós sabemos que na gravitação, a massa dos satélites estudados não é relevante, pois sempre é “cancelada” ao decorrer das operações matemáticas. Como exemplo disto, basta lembrar que quando um corpo tem massa $$m$$ e está numa região com aceleração gravitacional $$g$$, podemos escrever que:
$$P = mg = F_{r} = ma$$
$$a = g$$
Logo, a aceleração do corpo (que vai gerar as distâncias mínima, máxima e a velocidade orbital) não tem qualquer relação com a massa do satélite, de modo que essa é a única quantidade que não poderemos calcular.
Portanto Item a)
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Item a)
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Problema 16
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Estimativas
[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Umas vez que $$P = mg$$, corpos que tenham peso na ordem de $$1 N$$ possuem uma massa de
$$m = \dfrac{P}{g} = \dfrac{1 N}{10 m/s^2} = 0,1 \dfrac{N}{m/s^2} = 0,1 kg$$
$$m = 0,1 kg = 100 g$$
Vamos agora estimar a ordem de grandeza dos diferentes objetos listados:
Clipe de papel – 1 g
Moeda – 10 g
Litro de água – 1 kg
Bola de tênis – 100 g
Estudante de física – 100 kg
De acordo com nossas estimativas, a bola de tênis é o objeto listado cujo peso mais se aproxima do valor de $$1 N$$. Portanto Item d).
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Item d)
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Problema 17
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Estimativa e ordem de grandeza
[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
O problema pede para encontrar o valor mais próximo para a altura de uma pilha com 8 bilhões de celulares. É certamente uma pergunta com pouca aplicação prática, mas que tem a intenção de avaliar a capacidade do aluno de fazer estimativas, criar um modelo para alguma situação e aplicar os seus conhecimentos sobre o mundo para encontrar algum valor numérico.
Não existe apenas uma maneira certa de fazer estimativas, afinal o nome já diz, então a equipe do NOIC apenas está oferecendo um dos vários possíveis raciocínios. O celular de quem está escrevendo essa solução possui uma espessura de aproximadamente$$0,5\,cm$$. Isso pode variar dependendo do modelo, mas definitivamente o valor ficará em torno de $$0,5\,cm$$, pois é muito difícil alguém possuir um celular com $$0,05\,cm$$ ou $$5\,cm$$.
Se empilhássemos todos juntos, teríamos uma torre de altura:
$$ h= N_{celulares}\cdot L_{celular} $$
$$ h = (8\cdot 10^9) \cdot 0,5 $$
$$ h=4\cdot 10^{9} \,cm$$
Convertendo para metros:
$$ \boxed{h=4\cdot 10^7\,m }$$
$$ \boxed{h\approx 10^7\,m }$$
Portanto Item b).
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Item b)
[/spoiler]
Problema 18
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Unidades de medida
[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Segue a lista com as grandezas, unidade no SI e classificação (vetorial ou escalar):
a) Peso – Newton (N) – Vetorial
b) Massa – Quilograma (kg) – Escalar
c) Peso – Newton (N) – Vetorial
d) Energia – Joule (J) – Escalar
e) Pressão – Pascal (Pa) – Escalar
Lembrando que as grandezas escalares necessitam apenas do valor numérico (módulo) para serem compreendidas (massa, temperatura, distância, área, volume, tempo). Enquanto isso as grandezas vetoriais necessitam do módulo, direção e sentido para serem compreendidas. Tome muito cuidado pois, embora seja comum as pessoas falarem “Eu peso X quilos”, peso é uma força e por isso deve ser medida em Newtons. O mais apropriado seria dizer “Eu peso Y Newtons” ou “Minha massa é X quilos”.
Portanto Item c).
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Item c)
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Problema 19
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Calorimetria, mudanças de fase
[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Inicialmente há uma porção de água e gelo misturados no recipiente. Nessa etapa, o calor recebido é fornecido para o gelo se transformar em água líquida (conhecido como calor latente, responsável pela mudança de fase). Um fato importante é que substâncias simples (como o gelo, por exemplo) mudam de fase à temperatura constante, então o primeiro trecho do gráfico deve ser uma linha horizontal, pois não há variação de temperatura.
Quando todo o gelo derrete, o sistema passa a ser apenas água. Agora a situação é muito similar a uma panela esquentando água no fogo. A água recebe o calor fornecido para o sistema e aumenta sua temperatura gradualmente (conhecido como calor sensível, responsável pela mudança de temperatura). Essa mudança de temperatura é proporcional à temperatura de maneira linear (para 1 grama de água, 1 caloria aumenta a temperatura em 1 grau, 2 calorias aumentam 2 graus, 3 calorias 3 graus e assim por diante), então a segunda parte do gráfico deve ser uma reta crescente.
No fim, quando a água atingir o ponto de ebulição (quando a água começa a ferver) temos novamente uma situação de mudança de fase, mas agora do estado líquido para o vapor. Como já foi comentado, o gráfico será uma linha horizontal.
Portanto Item c).
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Item c)
[/spoiler]
Problema 20
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Calorimetria
[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
O problema trata sobre trocas de calor e pede para encontrar a temperatura de equilíbrio de um sistema. Infelizmente o enunciado não forneceu uma das temperaturas necessárias para resolver o exercício, mas como um problema muito similar foi cobrado em outros níveis, a equipe do NOIC vai utilizar os valores do outro nível para apresentar o raciocínio, que são: $$5\,kg$$ de água à temperatura de $$10^\circ C$$ e $$10\,kg$$ de água à temperatura de $$40^\circ C$$.
Para resolver esse problema, basta usar a conservação de energia, ou seja, o calor doado por um corpo é igual ao calor recebido:
$$ Q_1+Q_2=0 $$
O calor trocado é sensível, ou seja, varia de temperatura conforme a clássica expressão $$Q=mc\Delta T$$, em que $$m$$ é a massa do corpo, $$c$$ é o calor específico e $$\Delta T$$ é a variação de temperatura do corpo.
$$ m_1 c \Delta T_1 + m_2 c \Delta T_2=0 $$
$$ 5(T-10)+10(T-40)=0 $$
Resolvendo a equação, obtemos:
$$ \boxed{T=30^\circ C}$$
Mesmo usando os valores que não foram fornecidos, não é possível escolher um item pois $$ T=30^\circ C $$ se enquadra no Item B e no Item D. Portanto a questão deve ser Anulada.
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Anulada
[/spoiler]