Soluções Matemática – Semana 22

Iniciante

Observe que:
$$(k+1)(n-k)>n \Leftrightarrow nk-k^2+n-k>n \Leftrightarrow nk-k^2-k>0$$ (como $$k>0$$) $$\Leftrightarrow n-k-1>0 \Leftrightarrow n>k+1$$
O que é verdade, pois $$k=1, 2, 3, …, n-2$$.

Intermediário

Considere as expressões abaixo:

$$S=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$$

$$M=\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{a+b}$$

$$N=\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}$$

Temos que $$M+N=3$$ e por $$MA\ge$$$$MG$$:

$$S+M=\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{a+c}+\dfrac{c+a}{a+b} \ge 3$$

$$S+N=\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{b+a}{a+c}+\dfrac{c+b}{a+b} \ge 3$$

Logo $$M+N+2S \ge 6 \Rightarrow 2S \ge 3 \Rightarrow S \ge \dfrac{3}{2}$$.

Avançado

Veja a soma de todos os segmentos. Agora pegue o pareamento que possui a menor soma possível e suponha que ele possua dois segmentos que se cortam, digamos que $$AB$$ e $$CD$$ se cortando em $$O$$, pela desigualdade triangular:

• No triângulo $$AOD$$ temos $$AO+OD > AD$$;
• No triângulo $$BOC$$ temos $$BO+OC > BC$$.

Portanto $$AB + CD = AO + BO + CO + OD > AD + BC$$ e a soma dos segmentos diminuí ao trocarmos $$AB$$ e $$CD$$ por $$AD$$ e $$BC$$ e logo o pareamento que possui soma mínima não pode ter dois segmentos que se cortem, se não por absurdo sempre haverá um pareamento com soma menor que a mínima. Logo existe um pareamento em que todos os segmentos não se cortam.