Iniciante
$$\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} x+1=2$$
Intermediário
Por integração por partes, sejam $$ u = x \ \ $$ e $$ \ \ dv = \sin {x} \ dx $$, tal que $$ du=dx \ \ $$ e $$ \ \ v = -\cos{x} $$. Assim, $$ \displaystyle{ \int { x \sin {x}} \,dx } = \displaystyle{ x (-\cos{x}) – \int { (-\cos{x}) } \,dx } $$
$$ = \displaystyle{ -x \cos{x} + \int { \cos{x} } \,dx } $$
$$ = -x \cos {x} + \sin{x} + C $$
Avançado
Pontos críticos podem ser encontrados através da expressão: $$f'(x)=0$$ (Lema de Fermat). Assim, $$\frac{1-ln(x)}{x^2}=0$$ $$\downarrow$$ $$ln(x)=1$$ $$\downarrow $$ $$x=e$$ Checando o gráfico da função, percebe-se que $$f(e)$$ é ponto de máximo relativo porque a sua derivada muda de valores positivos para negativos em $$x=e$$.
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