Problema 2:
Os números reais a, b, c são diferentes de zero e cumprem o seguinte sistema de equações:
- $$a + ab = c$$ $$(1)$$
- $$b + bc = a$$ $$(2)$$
- $$c + ca = b$$ $$(3)$$
Determine os possíveis valores de $$abc$$.
Solução (por Luca Zanardi):
Primeiramente, note que, somando as três equações, obtemos:
$$a + ab + b + bc + c + ca = a + b + c \implies ab + bc + ca = 0$$ $$(4)$$.
Considere, para facilitar, que $$k = abc$$. Multiplicando $$(1)$$, $$(2)$$ e $$(3)$$ por $$c, a, b$$, respectivamente, obtemos:
- $$ca + k = c^2$$ $$(5)$$
- $$ab + k = a^2$$ $$(6)$$
- $$bc + k = b^2$$ $$(7)$$
Somando $$(5)$$, $$(6)$$ e $$(7)$$, conseguimos que:
$$3k + ab + bc + ca = a^2+b^2+c^2 \implies 3k = a^2 + b^2 + c^2$$ $$(8)$$. Podemos somar $$0 = 2\cdot 0 = 2(ab + bc + ca)$$ dos dois lados para obter:
$$3k = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a+b+c)^2$$ $$(9)$$.
Note agora que $$0 = 0^2 = (ab+bc+ca)^2 = (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2\cdot ab \cdot bc + 2\cdot bc \cdot ca + 2\cdot ab \cdot ca$$ $$= (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2k\cdot (a+b+c)$$. Como $$3k = (a+b+c)^2$$ (Em $$9$$), $$a+b+c= \pm \sqrt{3k}$$, e chegamos que $$(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 \pm 2k\cdot \sqrt{3k} = 0$$ $$(10)$$.
Agora, repare que, de $$(1)$$, $$(2)$$ e $$(3)$$, obtemos que:
- $$ab = c – a \implies (ab)^2 = a^2 – 2ac + c^2$$
- $$bc = a – b \implies (bc)^2 = a^2 – 2ab + b^2$$
- $$ca = b – c \implies (ca)^2 = b^2 – 2bc + c^2$$
Somando as três equações, obtemos que $$(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 = 2\cdot (a^2 + b^2 + c^2)$$, e por $$(8)$$, $$(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 = 6k$$. Dessa maneira, em $$(10)$$, temos:
$$6k \pm 2\sqrt{3}\cdot k\sqrt{k} = 0 \implies k = 0$$ ou $$\pm 2\sqrt{3}\sqrt{k} + 6 = 0$$. Dessa última, obtemos que $$12k = 36 \iff k = 3$$.
Dessa maneira, os únicos valores possíveis para $$abc$$ são $$0$$ e $$3$$.