Problema 4
Na figura, $$PQ$$ e $$BC$$ são paralelos, $$AB = BC$$ e $$MB = MC$$. Além disso, $$\angle CQM = \angle MQP$$ e $$PQ$$ é tangente à circunferência inscrita ao triângulo $$ABC$$.
Dado que $$AQ = 1$$, calcule o perímetro do triângulo $$ABC$$.
Solução por Luca Zanardi:
Considere os seguintes pontos na figura:
Onde $$T$$ é o ponto de tangência de $$PQ$$ na circunferência inscrita ao triângulo $$ABC$$, similarmente $$O$$ e $$N$$ tangentes por $$AB$$ e $$AC$$, respectivamente. Também, tome $$AP = x$$.
É fácil ver que o perímetro de $$APQ = 2x + 1$$ ($$AP = PQ$$ pois $$APQ$$ é semelhante a $$ABC$$). Porém, veja que, como $$PT = PO$$ e $$QT = QN$$, $$2x + 1 = AO + AN = 2\cdot AN$$. Como $$ABC$$ é isósceles, teremos que $$AN = CN = \frac{2x + 1}{2} = x+\frac{1}{2}$$ (Pois $$N$$ é ponto médio de $$AC$$). Assim, $$AC = 2x + 1$$ e então o perímetro de $$ABC = ($$perímetro de $$APQ)\cdot(\frac{AC}{AQ}) = (2x+1)^2$$, pois $$ABC$$ e $$APQ$$ são semelhantes, de razão $$\frac{AC}{AQ}$$. Dessa maneira, $$AB + BC + AC = 4x^2 + 4x + 1$$.
Agora, voltando nossa atenção para $$QM$$ ser a bissetriz de $$\angle CQP$$, note que $$\angle CMQ = \angle MQP$$, por ângulos alternos internos, e $$\angle MQP = \angle CQM \implies \angle CMQ = \angle CQM \implies CQM$$ é isósceles. Assim, $$CQ = CM$$. Porém, $$CQ = AC – AQ = 2x+1 – 1 = 2x$$. Logo, $$CM = 2x \implies BM = 2x \implies BC = 4x$$. Dessa maneira, o perímetro de $$ABC = AB + BC + AC = 4x + 4x + 2x+1 = 10x + 1$$. Dessa forma, $$4x^2 + 4x + 1 = 10x + 1 \implies 4x^2 – 6x = 0 \implies x = 0$$ ou $$4x – 6 = 0 \implies x = \frac{3}{2}$$. Como $$x$$ é uma distância, teremos que $$x = \frac{3}{2}$$, e então, o perímetro de $$ABC = 10\cdot \frac{3}{2} + 1 = 15 + 1 = 16$$.