Iniciante
a)Geralmente se estima o erro de um instrumento manual como sendo metade da sua graduação.Isso faz sentido,pense,quando você mede algo com uma régua você consegue identificar o menor número inteiro de graduações,mas entre uma graduação e outra já fica algo meio incerto.Daí,estima-se que você não vai fugir de metade da graduação na sua medida.
$$\sigma_{l}=\frac{G}{2}=0,05 cm$$ (G é a gradação)
b)Já que o cronômetro tem seu último digito em centésimos de segundos,se perde o sentido em falar da incerteza dele,não é isso que vai acabar ou não com sua medida,mas o seu tempo de reação.O tempo de reação humano é estimado como cerca de $$0,3 s$$.Sendo essa nossa incerteza
$$\sigma_{t}=0,3s$$
c)Para responder isso precisamos pensar nos parâmetros relevantes que podem afetar nosso problema:
Lei de Hooke:
-Efeitos estranhos da mola para pequenas forças
-Resistência do ar
-Incerteza da régua
-A mola nunca para de oscilar 100%,a medição do x de equilíbrio se torna complicada devido a isso
Oscilador Massa-Mola:
-Discrepância do período para amplitudes grandes
-Resistência do ar
-Tempo de reação humana
-Efeitos da massa da mola na oscilação
-Pertubações transversais ao movimento (Se o oscilador “balançar” para a esquerda e a direita,começarão a aparecer efeitos graças a força centrífuga)
Com isso,vemos que a lei de Hooke tem tudo para ser um experimento mais preciso,logo vamos toma-lá como nosso,provavelmente,mais preciso experimento.
Intermediário
Vamos começar nossa solução lembrando de algumas regras.Primeiro de tudo,quando temos uma medida de uma grandeza física,e nossa incerteza sobre ela é estimada,devemos fazer nosso valor médio ser um múltiplo da incerteza.
Por exemplo:
$$x=0,40 \pm 0.06$$
É na verdade:
$$x=0,42 \pm 0.06$$
Pois devemos arredondar a média pra o múltiplo mais próximo da incerteza.
Assim,corrigindo nossas medidas pra $$\Delta x$$:
$$\Delta x_{1}=(1,00 \pm 0,05)cm$$
$$\Delta x_{2}=(1,95 \pm 0,05)cm$$
$$\Delta x_{3}=(2,95 \pm 0,05)cm$$
$$\Delta x_{4}=(4,00 \pm 0,05)cm$$
$$\Delta x_{5}=(5,00 \pm 0,05)cm$$
$$\Delta x_{6}=(5,90 \pm 0,05)cm$$
$$\Delta x_{7}=(7,00 \pm 0,05) cm$$
$$\Delta x_{8}=(7,90 \pm 0,05)cm $$
$$\Delta x_{9}=(8,90 \pm 0,05)cm$$
$$\Delta x_{10}=(9,90 \pm 0,05)cm$$
Temos agora duas abordagens para esse problema:
1-Método dos mínimos quadrados:
Um método extremamente preciso que usa de resultados da teoria de erros e da sua habilidade na calculadora
2-Método Por gráfico:
Você desenha um gráfico (y X x) de suas variáveis,e desenha uma reta que você ache que melhor se ajuste aos dados experimentais.Há várias maneiras de achar a melhor reta.
Faremos aqui pelos método dos mínimos quadrados.
Método dos mínimos quadrados:
Leia o começo da questão avançada,até a parte que é lhe solicitado parar,lá ensinarei o mínimo que se precisa para continuar.
Continuando:
Vamos definir quem será nosso y e nosso x.
Sabemos que:
$$\Delta{x}=\frac{mg}{k}$$
Vamos chamar mg de x e $$\Delta x$$ de y (Não confunda \Delta x com x…..),assim conseguimos a reta:
$$y=\frac{x}{k}=Bx+A$$
Contudo,nossas medidas pra m e pra g são incertas,logo devemos saber a incerteza de um produto se quisermos a incerteza para x.
$$\sigma_{g.u}=\sqrt[2]{(\sigma_{g} u)^2+(\sigma_{u} g)^2}$$ (Não confunda $$\sigma_{g.u} $$(Incerteza do produto g.u) com $$\sigma_{gu}$$)
A equação acima é dada nas provas geralmente,a dedução envolve cálculo.
Nós encontramos todos valores para y ($$\Delta x$$) com suas respectivas incertezas,achemos agora para x,perceba que ela não será constante,pois ela é dada por:
$$\sigma_{mg}=\sqrt[2]{(\sigma_{g} m)^2+(\sigma_{m} g)^2}$$
Ela varia com a massa,logo cada x terá uma incerteza associada:
$$x_{1}=(mg)_{1}=(4,95 \pm 0,03)N$$
$$x_{2}=(9,85 \pm 0,05)N$$
$$x_{3}=(14,80 \pm 0,08)N$$
$$x_{4}=(19,70 \pm 0,10)N$$
$$x_{5}=(24,70 \pm 0,13)N$$
$$x_{6}=(29,55 \pm 0,15)N$$
$$x_{7}=(34,6 \pm 0,2)N$$
$$x_{8}=(39,4 \pm 0,2)N$$
$$x_{9}=(44,4 \pm 0,2)N$$
$$x_{10}=(49,4 \pm 0,2)N$$
Agora só resta plotar todos x e y na calculadora e achar os dados,comecemos com o $$\epsilon$$:
$$\epsilon=0,034306032 cm$$
$$\sigma_{B}=\frac{\epsilon}{\sigma_{x}\sqrt[2]{N}}=8.10^\left(-4\right) \frac{cm}{N}$$
$$B=B_{0} \pm \sigma_{B}=(0.2008 \pm 0.0008)\frac{cm}{N}$$
Contudo,para acabar com o problema estamos interessados em $$\frac{1}{B}$$,que é a constante elástica da nossa mola,e obviamente,na sua incerteza.A incerteza dessa grandeza é bem interessante.
Sabemos que a incerteza de uma divisão $$(f=\frac{g}{u})$$ é:
$$\sigma_{f}=\sqrt[2]{(\frac{\sigma_{g}}{u})^2+(\frac{g\sigma_{u}}{u^2})^2}$$
Se $$g=1$$ $$(\sigma_{g}=0)$$:
$$\sigma_{f}=\frac{\sigma_{u}}{u^2}$$
Assim,para k:
$$\sigma_{k}=\frac{\sigma_{B}}{B^2}=0.02 \frac{N}{cm}=2 \frac{N}{m}$$
$$k=k_{o} \pm \sigma_{k}=(498 \pm 2) \frac{N}{m}$$
Como esperado,o k por lei de hooke é mais preciso.A constante elástica da mola é na realidade 500 N/m.O nosso resultado é compatível,o que significa compatível?Uma grandeza é compatível com outra se uma é valor possível da outra.Nosso k tem valores possíveis entre 496 e 500.Duas grandezas são compatíveis se elas tem ao menos um valor possível em comum.É fácil ver que k é compatível com a constante real da mola,pois ele chega até 500.
Avançado
(Leitura também do intermediário)Para começarmos a análise é importante começar deixando claro a existência de algumas fórmulas (Muitas delas estão nas provas experimentais aplicadas pela SBF)
$$\epsilon=\sqrt[2]{\frac{\sum_{1} ^N (y_{i}-A-Bx_{i})^2}{N-2}}$$
$$\sigma_{B}=\frac{\epsilon}{\sigma_{x}\sqrt[2]{N}}$$
$$\sigma_{A}=\sqrt[2]{<x^2>}\sigma_{B}$$
$$B=\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x} ^2}$$
$$A=<y>-B<x>$$
Onde $$<g>$$,sendo g uma variável genérica,é o valor médio de g.
$$<g>=\frac{\sum_{1} ^N (g_{i})}{N}$$ (Definição 1)
$$g_{i}$$ é o i-ésimo valor medido de g
$$\sigma_{g}$$ representa o desvio padrão da variável g (que será usado nesse problema como incerteza de uma medida),ele é definido como:
$$\sigma_{g}^2=\frac{\sum_{1}^N (g_{i}-<g>)^2}{N}$$ (Definição 2)
Vamos desenvolver essa função para reescreve-lá de maneira mais inteligente:
$$\sigma_{g}^2=\frac{\sum_{1}^N(g_{i} ^2 -2g_{i} <g>+<g>^2)}{N}$$
$$\sigma_{g}^2=\frac{\sum_{1}^N g_{i}^2}{N} -\frac{2\sum_{1}^N g_{i}<g>}{N}+\frac{\sum_{1}^N <g>^2}{N}$$
Usando a definição 1:
$$\sigma_{g}^2=<g^2>-2<g>\frac{\sum_{1}^N (g_{i})}{N}+\frac{N <g>^2}{N}$$
$$\sigma_{g}^2=<g^2>-<g>^2$$
Assim,extende-se a definição 2 para:
$$\sigma_{xy}=<xy>-<x><y>$$
Deixando claro tudo que usaremos,podemos começar a análise de erros.
Primeiro,vamos encontrar A e B não corrigidos pela calculadora (A e B vão ser lhe dados com um número grande de significativos,geralmente,o que você provavelmente não terá..),lhe darei a instrução para fazer isso numa Casio fx-82ms,mas geralmente isso funciona em qualquer calculadora.Para começar,aperte o botão CLR e selecione 3 (All),aparecerá na tela RESET ALL,significa que se houvesse qualquer dado plotado antes nela,agora estão apagados,assim podemos colocar os nossos sem medo de ter algum erro graças aos antigos.Aperte o botão MODE,aperte 3 (REG),e selecione 1(Lin).
Feito isso,vamos construir uma função f(x) linear.$$(f(x)=y=A+Bx)$$.Você deve fazer o seguinte procedimento para plotar dados:
1-Escreva seu valor de x
2-Aperte ,
3-Coloque seu valor de y
4-Aperte M+
5-Seu dado está plotado
Faça isso para todos e você terá pela calculadora o valor de A e B que melhor se ajustam pra esses pontos experimentais.
E como você faz para a calculadora lhe dar?
Aperte S-Var (Em cima do 2),você terá então uma lista de variáveis que você pode pedir,mova com o curso da calculadora duas vezes para direita e você terá para a correspondente tecla:
$$1-A$$
$$2-B$$
$$3-r$$
r é uma medida de o quanto sua reta está ajustada aos pontos experimentais,ela vai de 0 a 1,quanto mais próximo de 1,mais preciso.
(Aqui acaba a parte que também é leitura do intermediário)
Se não ficou claro quem será seu y e x,veja:
$$T=2\pi \sqrt[2]{\frac{m}{k}}$$
$$T^2=\frac{4\pi^2 m}{k}$$
A última equação é linear em m,o que está variando no experimento,logo é inteligente fazer y ser $$T^2$$ e x ser $$m$$,contudo essa equação fica mais correta se colocarmos a massa da mola na jogada,a correção se dá por:
$$T^2=\frac{4\pi^2 (m+\frac{M}{3})}{k}=\frac{4\pi^2}{k} m+\frac{4\pi^2 M}{3k}$$ (M é a massa da mola)
$$T^2=y=A+Bx$$
Comparando as duas:
$$B=\frac{4\pi^2}{k}$$
$$A=\frac{4\pi^2 M}{3k}$$
Agora vamos começar a achar os números,comecemos pelo $$\epsilon$$,para achar o epsilon use o A e B que a calculadora lhe dá,não se importando ainda com o número correto de algarismos significativos.
$$\epsilon=7,233759239. 10^\left(-3\right) s^2$$
Assim:
$$\sigma_{B}=\frac{\epsilon}{\sigma_{x}\sqrt[2]{N}}=0.0016 \frac{m}{N}$$
$$\sigma_{A}=\sqrt[2]{<x^2>}\sigma_{b}=0.005 s^2$$
$$B=B_{o} \pm \sigma_{B}=0.0800\pm 0.0016=(8,00 \pm 0,16).10^(-2) \frac{m}{N}$$
$$A=A_{o} \pm \sigma_{A}=(-1.2 \pm 5).10^(-3) s^2$$
Agora vamos achar nosso k e M.
$$k=\frac{4\pi^2}{B}$$
É dado nos materias de teoria dos erros que a incerteza numa divisão ($$f=\frac{g}{u}$$) é:
$$\sigma_{f}=\sqrt[2]{(\frac{\sigma_{g}}{u})^2+(\frac{\sigma_{u}.g}{u^2})^2}$$
Na nossa expressão pra k,$$(4\pi^2)$$ é só um número,com incerteza zero então (não é uma medida ou algo do gênero…).
Logo:
$$\sigma_{k}=\frac{4\pi^2 \sigma_{B}}{B^2}=10 \frac{N}{m}$$
$$k=k_{o} \pm \sigma_{k}=(493 \pm 10) \frac{N}{m}$$ ( Nossa incerteza pode ter 2 dígitos,pois ela começa com 1,uma exceção à regra)
Agora,para M precisaremos conhecer a incerteza de um produto,pois:
$$M=\frac{3kA}{4\pi^2}$$
E sabemos que k e A são medidas com incerteza,logo usaremos outra expressão:
$$\sigma_{g.u}=\sqrt[2]{\sigma_{g} ^2 u^2 +\sigma_{u} ^2 g^2}$$
$$\sigma_{M}=0,19 kg$$
$$M=(-0.05 \pm 0.19)kg$$
A massa não faz sentido pois,seu valor mais provável é negativo e a incerteza dela é maior do que o valor mais provável.Quando achamos algo assim é razoável falar que essa coisa na verdade é zero.Assim,achamos que a mola tem massa tão próxima de zero,que é praticamente zero.E nosso equipamento não tem capacidade de medir-lá.(Isso aconteceu porque o que ia nos dar a massa era o desvio do caso de massa nula,se tivermos uma massa nula de mola achariamos A=0,a massa ser não nula ia criar um erro sistemático que ia gerar um A,e com esse A iamos encontrar a massa da mola,contudo os erros aleatórios foram de magnitude tão elevada que apagaram a informação gerada pelo erro sistemático da massa,esse que pra ser tão fraco deve ter vindo de uma massa muito pequena)
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