Escrito por Paulo Henrique
Alguns problemas para você praticar a teoria estudada. O grau de dificuldade dos problemas está indicado com asteriscos (*). Problemas com 1 asterisco é o equivalente a um problema de primeira fase de OBF, 2 asteriscos (**) um de segunda fase, e 3 asteriscos (***) um de terceira fase.
Problema 01 *
A figura a seguir representa uma onda triangular se propagando para direita numa corda horizontal. Determine, no instante representado, a direção e o sentido das velocidades dos pontos \(A\), \(B\) e \(C\).
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Em ondas transversais, os pontos oscilam somente na direção vertical. Assim, podemos dizer que \(C\) se move verticalmente para cima e \(A\) se move verticalmente para baixo. Como \(B\) está prestes a mudar a direção de seu movimento, ele não possui velocidade nesse momento.
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\(A\): vertical para baixo; \(B\): nula; \(C\): vertical para cima
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Problema 02 *
Uma corda de massa \(m=20\,\rm{kg}\) e comprimento \(l=2\,\rm{m}\) é posta a oscilar com uma tensão uniforme de \(T=10\,\rm{N}\). Quanto tempo uma onda leva para ir de uma ponta à outra da corda?
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Utilizando a fórmula da velocidade:
\[v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{T}{m/l}}\]
\[\Delta t=\dfrac{l}{v}\]
\[\Delta t=\sqrt{\dfrac{ml}{T}}\]
\[\Delta t=\sqrt{\dfrac{20\cdot 2}{10}}=\boxed{2\,\rm{s}}\]
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\(2\,\rm{s}\)
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Problema 03 **
A figura a seguir representa o instante \(t_0=0\), no qual um pulso assimétrico se propaga com velocidade \(v_x=10\,\rm{cm/s}\) em uma corda horizontal, alinhada com o eixo \(x\). Não há dissipação de energia no sistema.
Sendo \(\vec{v_P}\) a velocidade do ponto \(P\) de abcissa \(x=6,0\,\rm{cm}\) no instante \(t=0,1\,\rm{s}\), determine
a) a direção e o sentido de \(\vec{v_P}\).
b) a intensidade de \(\vec{v_P}\).
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a) Em \(t=0,10\,\rm{s}\), a onda terá se movido para a direita em \(v_x t=1\,\rm{cm}\). Assim, podemos representar a corda da seguinte maneira:
Como os pontos da corda só se movem na direção vertical, a velocidade de \(P\) será vertical e apontará para cima.
b) Perceba que, para que a onda mantenha seu formato triangular, todos os pontos pertencentes a um mesmo segmento do triângulo devem ter a mesma velocidade vertical. Assim, o ponto \(P\) possui a mesma velocidade \(v_P\) desde o momento inicial até o momento \(t_P=0,2\,\rm{s}\) quando ele atinge sua altura máxima. Assim, podemos escrever que
\[v_P=\dfrac{\Delta y}{t_P}\]
\[v_P=\dfrac{3,0}{0,2}=\boxed{15,0\,\rm{cm/s}}\]
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a) vertical para cima
b) \(15\,\rm{cm/s}\)
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Problema 04 **
A figura a seguir representa o instante \(t_0=0\) no qual um pulso assimétrico se propaga com velocidade horizontal. Determine a razão entre os tempos necessários para que \(B\) atinja o ponto mais baixo de sua trajetória e para que \(A\) atinja o ponto mais alto de sua trajetória.
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Pela figura, a onda deve percorrer \(6\) unidades arbitrárias para que \(B\) volte à sua posição mais baixa, enquanto para que \(A\) atinja sua posição mais alta a onda deve percorrer \(4\) unidades arbitrárias. Assim, a razão entre os tempos é igual a \(6/4=\boxed{1,5}\).
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\[1,5\]
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Problema 05 **
Suponha que façamos uma corda oscilar com uma dada frequência \(\omega\) e amplitude \(A\). Mantendo-se a tensão da corda constante, quantas vezes maior será a intensidade necessária para oscilar a corda com frequência \(2\omega\) e amplitude \(3A\)?
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Da parte teórica desta aula, sabemos que a energia transportada por uma onda em uma corda, manténdo-se sua tensão e densidade linear de massa constantes, é tal que
\[P\propto \omega^2 A^2\]
Assim, podemos escrever que
\[\dfrac{P’}{P}=\left(\dfrac{\omega’}{\omega}\right)^2\left(\dfrac{A’}{A}\right)^2\]
\[\dfrac{P’}{P}=2^2\cdot 3^2=\boxed{36}\]
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\[36\]
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Problema 06 ***
Uma onda triangular simétrica de amplitude \(A=1\,\rm{m}\) e comprimento de onda \(\lambda=4\,\rm{m}\) se propaga através de uma corda de tensão \(T=200\,\rm{N}\) e densidade de massa linear \(\mu=2\,\rm{kg/m}\). Sabe-se que a potência transportada em um dado ponto da corda na coordenada \(x\) e no tempo \(t\) é dada por
\[P(x,t)=\sqrt{T\mu}v_y^2\]
Onde \(v_y\) é a velocidade vertical no ponto considerado. Encontre o valor de \(P(x,t)\) para um ponto qualquer da onda que não corresponda a uma crista ou a um vale.
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Como observamos em problemas anteriores, todos os pontos de uma onda triangular simétrica que não correspondem a uma crista ou a um vale possuem a mesma velocidade vertical, em módulo. Sua velocidade de propagação horizontal é dada por
\[v_x=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{200}{2}}=10\,\rm{m/s}\]
Como, em um período, a onda atravessa uma distância horizontal \(\lambda\) e os pontos percorrem uma distância vertical \(4A\), podemos escrever, por regra de três,
\[\dfrac{v_y}{v_x}=\dfrac{4A}{\lambda}\]
\[v_y=v_x\dfrac{4A}{\lambda}=10\,\rm{m/s}\]
Substituindo na fórmula dada:
\[P=\sqrt{T\mu}v_y^2=\boxed{2\cdot 10^3\,\rm{W}}\]
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\[2\cdot 10^3\,\rm{W}\]
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Problema 07 *
Considere a figura a seguir que representa uma onda senoidal se propagando com velocidade \(v_x=20\,\rm{m/s}\) em uma corda horizontal. Determine a frequência de oscilação da onda, sabendo que os valores nos eixos estão em metros.
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Pela figura, sabemos que a onda possui comprimento de onda \(\lambda=10\,\rm{m}\). Pela relação fundamental,
\[v_x=\lambda f\]
\[f=\dfrac{v_x}{\lambda}\]
\[\boxed{f=2\,\rm{Hz}}\]
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\[2\,\rm{Hz}\]
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Problema 08 ***
A equação de uma onda se propagando ao longo de uma corda é dada por \(y=\sin{(2\pi x-\pi t)}\), onde \(y\) e \(x\) estão em metros e \(t\) está em segundos.
a) Encontre a amplitude, comprimento de onda, frequência, período e velocidade da onda.
b) Encontre a velocidade transversal máxima de qualquer partícula na corda.
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a) A equação geral de uma onda transversal é dada por
\[y=A\sin{(kx-\omega t)}\]
Onde \(k=2\pi/\lambda\) e \(\omega=2\pi/T=2\pi f\). Assim conseguimos diretamente que \(A=1\,\rm{m}\), \(\lambda=1\,\rm{m}\), \(f=0,5\,\rm{Hz}\), \(T=2\,\rm{s}\) e \(v=0,5\,\rm{m/s}\).
b) Como a escolha do ponto não afetará o resultado, escolheremos o ponto \(x=0\) para simplificar as contas. Assim,
\[y=-\sin{(\pi t)}\]
A velocidade desse ponto em função do tempo é
\[v_y=-\pi\sin{(\pi t)}\]
Assim, a velocidade transversal máxima é dada por
\[v_{y,max}=\pi=\boxed{3\,\rm{m/s}}\]
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a) \(A=1\,\rm{m}\), \(\lambda=1\,\rm{m}\), \(f=0,5\,\rm{Hz}\), \(T=2\,\rm{s}\) e \(v=0,5\,\rm{m/s}\)
b) \(v_{y,max}=\pi=\boxed{3\,\rm{m/s}}\)
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Problema 09 ***
Uma longa corda uniforme de densidade de massa \(\mu=0,1\,\rm{kg/m}\) é esticada com uma força de \(10\,\rm{N}\). Uma ponta da corda é oscilada transversalmente de forma senoidal com uma amplitude de \(0,02\,\rm{m}\) e um período de \(0,1\,\rm{s}\), de forma que ondas viajando ao longo do eixo \(x\) positivo são formadas.
a) Qual é a velocidade das ondas?
b) Qual é o seu comprimento de onda?
c) Qual é a sua equação se em \(t=0\) a ponta em \(x=0\) não possui velocidade e está deslocada para cima?
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a) Pela equação de Taylor,
\[v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{10}{0,1}}=\boxed{10\,\rm{m/s}}\]
b) Como o período é de \(T=0,1\,\rm{s}\), pela relação fundamental,
\[v=\dfrac{\lambda}{T}\]
\[\boxed{\lambda=1\,\rm{m}}\]
c) Como o ponto considerado não possui velocidade no momento inicial, concluímos que ele está em sua aplitude máxima para cima. Assim, para a ponta em \(x=0\), a equação de movimento vertical é
\[y=0,02\cos{\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)}\]
Assim, a equação da onda é
\[y=0,02\cos{\left(\dfrac{2\pi}{\lambda}x-\dfrac{2\pi}{T}t\right)}\]
\[\boxed{y=0,02\cos{\left(2\pi x-20\pi t\right)}}\]
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a) \(10\,\rm{m/s}\)
b) \(1\,\rm{m}\)
c) \(y=0,02\cos{\left(2\pi x-20\pi t\right)}\)
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Problema 10 ***
É observado que um pulso demora \(0,1\,\rm{s}\) para viajar de uma ponta à outra de uma longa corda. A tensão na corda é produzida passando a corda sobre uma polia e conectando sua ponta a um peso que possui \(100\) vezes a massa da corda. Qual é o seu comprimento?
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Sendo \(m\) a massa da corda, podemos escrever que sua tensão é tal que
\[T=40mg\]
Para calcular o tempo que a onda demora para atravessar a corda:
\[\Delta t=\dfrac{l}{v}\]
\[v=\dfrac{l}{\Delta t}\]
Pela fórmula da velocidade da onda na corda,
\[v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}\]
\[T=v^2\mu=v^2\dfrac{m}{l}=100mg\]
Substituindo a fórmula da velocidade:
\[\dfrac{l}{(\Delta t)^2}=100g\]
\[l=100g(\Delta t)^2=\boxed{10\,\rm{m}}\]
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\[10\,\rm{m}\]
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Problema 11 **
Considere a mesma corda do exercício anterior. Nela, se faz propagar uma onda senoidal cuja equação é dada por
\[y(x,t)=0,1\cos{[\pi(x-vt)}]\]
Onde \(v\) é a velocidade da onda, que você pode calcular a partir dos dados anteriores. Encontre o delocamento transversal no ponto \(x=5\,\rm{m}\) no momento \(t=0,1\,\rm{s}\).
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Do problema anterior,
\[v= \sqrt{\dfrac{100mg}{m/l}}\]
\[v=\sqrt{100gl}=100\,\rm{m/s}\]
Substituindo na equação da onda:
\[y(5;\, 0,1)=0,1\cos{\pi(5-100\cdot 0,1)}=0,1\cos{(-5\pi)}\]
\[\boxed{y=-0,1\,\rm{m}}\]
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\[-0,1\,\rm{m}\]
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Problema 12 *
Geométrico e Balype desejam brincar com uma corda de comprimento \(l\) e massa \(m=3\,\rm{kg}\). Na brincadeira, cada um segura uma ponta da corda, que é esticada na tentativa de produzir ondas senoidais perfeitas. Após diversas tentativas, eles ficam insatisfeitos com a velocidade com que as ondas se propagam na corda, que é muito rápida para que eles tenham tempo de apreciá-la. Assim, decidem substituir a corda por outra de mesmo comprimento e massa \(m’\), de forma que o tempo de propagação de uma onda indo de uma ponta à outra seja 2 vezes maior. Qual é o valor de \(m’\), assumindo que eles estiquem ambas as cordas com a mesma tensão \(T\)?
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Como o tempo de propagação é 2 vezes maior e o comprimento percorrido pela onda é o mesmo, sua velocidade deve ser 2 vezes menor. Pela fórmula de Taylor:
\[v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{T}{m/l}}\propto \dfrac{1}{\sqrt{m}}\]
\[\dfrac{v’}{v}=\sqrt{\dfrac{m}{m’}}=\dfrac{1}{2}\]
\[m’=4m=\boxed{12\,\rm{kg}}\]
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\[12\,\rm{kg}\]
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Problema 13 **
Akira gera uma onda senoidal de amplitude \(A\) em uma corda horizontal. Em \(t=0\). determinado ponto da corda está em repouso. Se \(0,5\,\rm{s}\) depois esse mesmo ponto possui deslocamento nulo, encontre a frequência mínima com a qual a corda oscila.
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Quando o ponto está em repouso, ele possui deslocamento máximo. O instante mais próximo no qual ele possuirá deslocamento nulo ocorre após um quarto de período. Perceba que este instante corresponde à frequência mínima de oscilação da corda, porque se o tempo transcorrido correspondesse, por exemplo, a três quartos de período, o período de oscilação seria menor, e, consequentemente, a frequência seria maior. Assim,
\[\dfrac{T}{4}=0,5\]
\[T=2\,\rm{s}\]
\[\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{2}=\boxed{3\,\rm{s^{-1}}}\]
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\[3\,\rm{s^{-1}}\]
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Problema 14 *
A figura a seguir representa uma hipotética onda de formato retangular se propagando em uma corda horizontal.
Dê um motivo que explique por que tal onda é impossível de ser produzida em uma corda massiva.
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Perceba que para que um ponto na corda vá do patamar superior ao patamar inferior a onda precisa ter apenas um deslocamento infinitesimal para a direita. Assim, o ponto considerado, que possui massa não nula, precisa percorrer um espaço não infinitesimal em intervalo de tempo infinitamente pequeno, adquirindo uma velocidade tendendo ao infinito, o que é impossível.
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Problema 15 **
Na figura a seguir, uma corda com um bloco de massa \(m\) anexado a uma de suas pontas é oscilada com pulsos senoidais.
Supondo que a velocidade máxima do bloco durante sua oscilação é igual a \(v_0\), encontre a energia média do bloco ao longo de um período.
Dica: O valor médio de uma quantidade \(x\) elevada ao quadrado é igual à metade de sua amplitude elevada ao quadrado quando ela oscila de forma senoidal, isto é
\[\overline{x^2}=\dfrac{x_0^2}{2}\]
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A energia do bloco em um dado instante é dada por
\[E=\dfrac{mv^2}{2}+mgy\]
Onde \(y\) é a sua altura em relação à sua posição média. Perceba que o segundo termo da expressão acima não contribui para a energia média, já qur o bloco passa uma metade do período de oscilação acima de \(y=0\) e a outra abaixo de \(y=0\). Assim, podemos escrever, utilizando a dica do enunciado:
\[\overline{E}=\dfrac{m\overline{v^2}}{2}=\boxed{\dfrac{mv_0^2}{4}}\]
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\[\dfrac{mv_0^2}{4}\]
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