Escrito por Akira Ito, Matheus Felipe R. Borges, Lucas Tavares, Alex Carneiro, Pedro Tsuchie, João Gabriel Pepato, Gabriel Hemétrio, Paulo Henrique
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Questão 1
João e Maria costumam treinar juntos em uma pista olímpica de atletismo que tem 8 raias, veja a figura. A raia interna tem $$400 m$$ de extensão. Certo dia, João, que está se recuperando de uma pequena lesão, deve caminhar enquanto Maria corre. Eles iniciam o treinamento escolhendo o sentido em que vão dar as voltas, começam no mesmo instante e partem da linha de largada. O treinamento termina quando Maria completa a décima volta. Sabendo que ambos usam a raia interna e João e Maria se exercitam com velocidades escalares constantes de, respectivamente, $$6,00 km/h$$ e $$12,0 km/h$$, determine:
(a) A distância percorrida por João no instante em que Maria completa a décima volta.
(b) O número de vezes que Maria ultrapassa João, se ambos dão voltas no sentido anti-horário.
(c) O número de vezes que Maria cruza com João, se Maria dá voltas no sentido anti-horário e João dá voltas no sentido horário.
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Cinemática
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a)
Em um mesmo tempo, João percorre metade da distância que Maria percorre. Logo, como em 10 voltas Maria percorre $$10*400=4000m$$, João percorrerá :
$$\boxed{\frac{4000}{2}=2000m}$$
(b)
No referencial de João, Maria corre à $$ 6 km/h$$ e à cada $$400m$$ ela passa por ele. Ela corre por $$t=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}h$$. Logo, João a vê andar $$6*\frac{1}{3}=2km$$.
Ela passa por ele :
$$\boxed{\frac{2}{0,4}=5 vezes}$$
(c)
No referencial de João, Maria corre à $$18km/h$$ e à cada $$400m$$ ela passa por ele. Ela corre por $$t=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}h$$.Logo, João a vê andar $$18*\frac{1}{3}=6km$$.
Ela passa por ele :
$$\boxed{\frac{6}{0,4}=15 vezes}$$.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) $$ \boxed{ d=2000m}$$
(b) $$ \boxed{ 5 vezes}$$
(c)$$ \boxed{ 15 vezes}$$
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Questão 2.
Ondas de calor no Brasil frequentemente levam a temperatura ambiente muito acima da zona de conforto térmico. Em locais abertos como por exemplo estações rodoviárias, pátios de restaurantes, etc, é cada vez mais comum a
presença de sistemas de refrigeração que usam nebulizadores, que podem ou não estar acoplados a um ventilador, como o mostrado na figura ao lado. Suponha que um aparelho desses nebulize 100 ml de água por minuto, em um ambiente aberto com ar quente e seco e que 50% das gotículas de água formada se evaporam.
(a) Explique o funcionamento desses aparelhos em termos dos fenômenos físicos envolvidos. Por que a água deve ser nebulizada? Qual a função do ventilador?
(b) Estime a quantidade de calor retirada do ambiente por segundo, em joules por segundo, J/s ou Watt (1 J/s ≡ 1 W), de funcionamento desse aparelho.
(c) A capacidade de resfriamento de ar condicionados convencionais é usualmente dada em BTU (British Thermal Unit), onde 1 BTU ≈ 0,3 J/s ou 1 BTU ≈ 0,3 W. Qual a capacidade de refrigeração do aparelho dessa questão em BTU?
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Termologia
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(a) A água deve ser nebulizada para que as gotículas de água (estado líquido) sejam lançadas no ar seco e quente, promovendo a sua evaporação. Como esse é um processo endotérmico, as gotículas absorvem calor do ambiente ao seu redor e causam o seu resfriamento, como desejado. O ventilador possui a função de dispersar essas gotículas de água rapidamente, acelerando o resfriamento do ambiente.
(b) A cada minuto, 50% dos 100 ml (ou 100 g) de água evaporam, absorvendo uma energia correspondente ao calor latente de vaporização de 540 cal/g:
\[\dfrac{1}{2}\cdot 100 \cdot 540=27000\,\rm{cal}\]
Convertendo para Joules e dividindo pelo número de segundos em um minuto (60 s):
\[\dfrac{27000\cdot 4,2}{60}=\boxed{1890\,\rm{W}}\]
(c) Basta dividir o resultado anterior pelo valor de um BTU:
\[\dfrac{1890}{0,3}=\boxed{6300\,\rm{BTU}}\]
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(b) \(1890\,\rm{W}\)
(c) \(6300\,\rm{BTU}\)
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Questão 3
Seja θ a inclinação do eixo de rotação da Terra em relação ao plano de sua órbita em torno do Sol. A representação esquemática da Terra dada na figura ao lado, além de θ, mostra o eixo de rotação da Terra que passa pelos polos norte (N) e sul (S) e o plano do equador que divide a Terra em dois hemisférios. Considere os casos hipotéticos em que:
(a) θ = $$0$$◦
(b) θ = $$90$$◦
Em cada caso, faça um diagrama que mostre a posição da Terra em torno do Sol e a sua orientação. Em cada diagrama, represente os dias A, B, C e D, que marcam, respectivamente os inícios do verão, outono, inverno primavera no hemisfério Sul. Considerando uma cidade de latitude de $$10$$◦ sul, indique o intervalo de tempo de claridade em cada um desses dias.
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Astronomia/Gravitação
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a)
No caso em que $$\theta=0$$, todos os momentos do ano são simétricos, de maneira que não há como distinguir estações do ano. O eixo fica perfeitamente alinhado. O intervalo de tempo de claridade é de $$12h$$, metade do dia.
(b)
No caso em que $$\theta=90$$, todos os momentos também são simétricos, a única diferença é que o eixo de rotação da terra está deitado agora. Novamente o intervalo de tempo é de $$12h$$, metade dia.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Ver imagens.[/spoiler]
Questão 4.
Através da famosa equação da equivalência entre massa e energia, \(E=mc^2\), proposta por Einstein, sabemos que a toda reação, nuclear ou química, que libera energia é acompanhada por uma variação de massa. Sejam, \(m_r\) a massa dos reagentes e \(m_p\) a massa dos produtos, então, a energia liberada na reação é dada por
\[|\Delta E | = |(m_p – m_r)|c^2\]
onde \(c\) é a velocidade da luz no vácuo.
A primeira Bomba atômica, chamada “Little Boy”, detonada sobre a cidade de Hiroshima continha cerca de 64 kg de urânio, dos quais 80% eram o urânio 235, que é a substância físsil, ou seja que sofre fissão nuclear e libera energia. Estima-se que sua explosão liberou uma energia equivalente à explosão de 15 mil toneladas do explosivo químico TNT. A explosão de mil toneladas (1 quiloton, ou 1 kt) de TNT libera, uma energia de, aproximadamente, \(4,2\times 10^{12}\,\rm{J}\).
Seja \(\eta = (m_p – m_r)/m_r\) a variação relativa de massa envolvida em uma reação nuclear ou química.
(a) Qual a variação de massa que ocorreu na explosão da “Little Boy”?
(b) Determine \(\eta\) da explosão da “Little Boy” considerando que todo o material físsil foi consumido.
(c) Estime \(\eta\) para uma explosão de TNT com energia energia igual à liberada por “Little
Boy”. Considere que o único reagente da explosão do TNT é o próprio TNT.
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Reações químicas/nucleares
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) Como a energia liberada é equivalente à de uma explosão de 15 mil toneladas de TNT, e cada mil toneladas liberam \(4,2\cdot 10^{12}\,\rm{J}\) de energia, temos
\[\Delta E=-15\cdot 4,2 \cdot 10^{12}=-6,3\cdot 10^{13}\,\rm{J}\]
Onde escolhemos o valor negativo pois a reação é exotérmica. Pela fórmula dada no enunciado,
\[\Delta m=m_p-m_r=\dfrac{\Delta E}{c^2}\]
\[m_p-m_r=-\dfrac{6,3\cdot 10^{13}}{(3\cdot 10^8)^2}=\boxed{-7\cdot 10^{-4}\,\rm{kg}}\]
(b) O material físsil corresponde a 80% da massa de urânio na “Little Boy”:
\[m_r=0,8\cdot 64=51,2\,\rm{kg}\]
Utilizando a resposta do item anterior:
\[\eta=\dfrac{m_p-m_r}{m_r}=-\dfrac{7\cdot 10^{-4}}{51,2}\approx\boxed{-1,4\cdot 10^{-5}}\]
(c) Do item (a), sabemos que \(\Delta E=-6,3\cdot 10^{13}\,\rm{J}\) e, pelo enunciado, \(m_r\) é igual a 15 mil toneladas. Assim,
\[\eta=\dfrac{\Delta E}{c^2 m_r}=-\dfrac{6,3\cdot 10^{13}}{(3\cdot 10^8)^2\cdot 15\cdot 10^6}\approx\boxed{-4,7\cdot 10^{-11}}\]
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) \(m_p-m_r=-7\cdot 10^{-4}\,\rm{kg}\)
b) \(\eta\approx -1,4\cdot 10^{-5}\)
c) \(\eta\approx -4,7\cdot 10^{-11}\)
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Questão 5.
Arquimedes, diz a lenda, descobriu uma maneira de verificar se a coroa do rei de Siracusa era feita de ouro puro ou se tinha sido adulterada com um metal menos denso. Suponha que o rei de Siracusa entregou uma barra de ouro de \(1000\,\rm{g}\) a um ourivez para que ele fizesse uma coroa do mesmo peso. Arquimedes descobriu que o volume da coroa poderia ser medido mergulhando a coroa em água e medindo o volume deslocado. Considere as densidades
aproximadas, do ouro \(19,0\,\rm{g/cm^3}\), da prata \(10,0\,\rm{g/cm^3}\), da platina \(21,5\,\rm{g/cm^3}\) e do cobre \(9,00\,\rm{g/cm^3}\).
(a) Suponha que o ourives entregou ao rei uma coroa feita com 800 g de ouro e 200 g de prata. Qual a diferença de volume entre a coroa adulterada e uma coroa feita toda de ouro?
(b) Considere uma liga de cobre e platina. Qual deve ser a proporção de cada metal, em massa, para que a liga possa ser ser usada em joalheria, em substituição ao ouro, sem que a fraude possa ser identificada pelo método de Arquimedes?
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Densidade
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Ao longo da questão, utilizaremos os subscritos Au (ouro), Ag (prata), Cu (cobre) e Pl (Platina) para indicar a densidade desses metais e a massa de determinado objeto pela qual eles são responsáveis.
(a) Seja m_0 a massa da coroa. O volume da coroa de ouro é dado por
\[V_{Au}=\dfrac{m_0}{\rho_{Au}}=\dfrac{1000}{19}\approx 52,6\,\rm{cm^3}\]
Para a coroa adulterada, temos
\[V_{Adulterada}=\dfrac{m_{Au}}{\rho_{Au}}-\dfrac{m_{Ag}}{\rho_{Ag}}=\dfrac{800}{19}+\dfrac{200}{10}=62,1\,\rm{cm^3}\]
Assim, a variação de volume é
\[\Delta V=V_{adulterada}-V_{Au}=\boxed{9,5\,\rm{cm^3}}\]
(b) Para que a diferença entre as coroas não seja detectável pelo método de Arquimedes, tanto a massa quanto o volume delas devem ser idênticos. Da primeira condição,
\[m_{Cu}+m_{Pl}=m_0\]
Da segunda,
\[\dfrac{m_{Cu}}{\rho_{Cu}}+\dfrac{m_{Pl}}{\rho_{Pl}}=\dfrac{m_0}{\rho_{Au}}\]
Isolando \(m_{Pl}\) na primeira equação e substituindo na segunda:
\[\dfrac{m_0}{\rho_{Au}}=\dfrac{m_{Cu}}{\rho_{Cu}}+\dfrac{m_0-m_{Cu}}{\rho_{Pl}}\]
\[m_0\left(\dfrac{1}{\rho_{Au}}-\dfrac{1}{\rho_{Pl}}\right)=m_{Cu}\left(\dfrac{1}{\rho_{Cu}}-\dfrac{1}{\rho_{Pl}}\right)\]
\[m_{Cu}=\dfrac{1/\rho_{Au}-1/\rho_{Pl}}{1/\rho_{Cu}-1/\rho_{Pl}}=\dfrac{\rho_{Cu}}{\rho_{Au}}\cdot \dfrac{\rho_{Pl}-\rho_{Au}}{\rho_{Pl}-\rho_{Cu}}\cdot m_0\]
A fração em massa de cobre na liga é dada por
\[\dfrac{m_{Cu}}{m_0}=\dfrac{\rho_{Cu}}{\rho_{Au}}\cdot\dfrac{\rho_{Pl}-\rho_{Au}}{\rho_{Pl}-\rho_{Cu}}=0,0947\approx\boxed{9,5\%}\]
E fração de platina é igual a \(100-9,5=90,5\%\).
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) \(\Delta V=9,5\,\rm{cm^3}\)
(b) 9,5% cobre e 90,5% platina
[/spoiler]
Questão 6.
Três bolas de brinquedo, A, B, C, de mesmo raio e massas diferentes são abandonadas, em $$t = 0 \, \textrm{s}$$, da janela de um prédio, localizada $$20 \, \textrm{m}$$ acima de um pátio vazio no piso térreo. A tabela ao lado mostra a altura aproximada das bolas em função do tempo $$t$$.
As bolas estão sob a ação da força gravitacional (peso) e da força de resistência do ar, ou força de arrasto, $$\vec{F}_{ar}$$. Essa força é oposta ao movimento do corpo e sua intensidade é dada por $$F_{ar} = bv^2$$, onde $$v$$ é o módulo da velocidade do corpo em relação ao ar e $$b$$ é uma constante positiva que depende da geometria do corpo e da densidade do ar.
A ação de $$\vec{F}_{ar}$$ pode ser desprezada devido, entre outros, à combinação dos seguintes fatores: (1) velocidade suficientemente baixa e (2) corpo suficientemente massivo.
(a) Todos os corpos em queda no ar, depois de um intervalo de tempo suficientemente longo, se movem com velocidade constante, chamada velocidade terminal. A bola mais leve já atingiu a velocidade terminal? Quando? Qual seu valor?
(b) Sabendo que a massa da bola mais leve é $$10,0 \, \textrm{g}$$, qual o valor da constante $$b$$?
(c) A ação de $$F_{ar}$$ durante toda a queda é desprezível para alguma bola? Qual? Justifique.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Cinemática [/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) A bola mais leve é a A, pois se observamos as posições das 3, fica claro que A foi a bola que teve o movimento mais atrapalhado por ter chegado menos longe que as outras no mesmo intervalo de tempo, e como a aceleração da partícula depende da geometria (que é igual), da densidade do ar (que é a mesma), da velocidade (que começa igual) e da massa, sabemos então que este tem que ser o fator decisivo e portanto A é a mais leve.
Agora que esclarecemos que estamos falando da bola A, para sabermos se ela chegou na velocidade terminal ou não, precisamos calcular as 2 últimas velocidades dela, não é um movimento que poderíamos achar sua velocidade por ser de certa complexidade matemática, mas podemos estimar a sua velocidade com alguma precisão. Para isso, iremos pegar 2 instantes de posição e iremos calcular a velocidade “média” entre esses 2 instantes, que por ter um intervalo de tempo pequeno, podemos dizer que aproximadamente refletiria a velocidade instantânea do tempo entre esses 2 instantes, portanto:
$$v (t = 1,9) = \dfrac{y_A (t = 1,8) – y_A (t = 2,0)}{2,0 – 1,8} \therefore v = \dfrac{9,83 – 8,25}{0,2} = 5 \cdot 1,58$$
$$v (t = 1,9) = 7,90 \, \textrm{m/s}$$
E a penúltima velocidade:
$$v (t = 1,7) = \dfrac{y_A (t = 1,6) – y_A (t = 1,8)}{1,8 – 1,6} \therefore v = \dfrac{11,41 – 9,83}{0,2} = 5 \cdot 1,58$$
$$v (t = 1,7) = 7,90 \, \textrm{m/s}$$
Concluímos então que a bola A de fato chegou à velocidade terminal, mas para acharmos os instantes, vamos ver até onde isso vai:
$$v (t = 1,5) = \dfrac{y_A (t = 1,4) – y_A (t = 1,6)}{1,6 – 1,4} \therefore v = \dfrac{12,97 – 11,41}{0,2} = 5 \cdot 1,56$$
$$v (t = 1,5) = 7,80 \, \textrm{m/s}$$
Assim sabemos que o instante foi entre $$t = 1,5 \, \textrm{s}$$ e $$t = 1,7 \, \textrm{s}$$, e a velocidade terminal é $$v = 7,90 \, \textrm{m/s}$$.
(b) Se fizermos a segunda lei de Newton para a partícula, temos:
$$m_A \, g – bv^2 = m_A \, a$$
E no caso de ter atingido a sua velocidade terminal, a aceleração é zero, e usando os valores da questão e da prova:
$$10^{-2} \cdot 10,0 – b \cdot (7,90)^2 = 0 \therefore b = \dfrac{10^{-1}}{7,90^2}$$
$$\boxed{b = 1,60 \cdot 10^{-3} \, \textrm{kg/m}}$$
(c) Para acharmos isso, vamos ver o quanto deveria ter descido uma partícula em queda livre ao final dos $$2,0 \, \textrm{s}$$, e se alguma das bolas desceu a mesma altura neste intervalo, então podemos concluir que ela não foi afetada pela resistência do ar.
Escrevendo a função da altura de uma partícula em queda livre:
$$\Delta y = -\dfrac{g}{2} t^2 \therefore \Delta y = -\dfrac{10}{2} 2^2$$
$$\Delta y = -20 \, \textrm{m}$$
Como todas as bolas começam em $$y_0 = 20 \, \textrm{m}$$, isso significa que para uma bola que não é afetada pela resistência do ar, ela estaria em $$y = 0 \, \textrm{m}$$. Concluímos então que a bola C sofre ação desprezível da resistência do ar.
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) Sim, entre $$t = 1,5 \, \textrm{s}$$ e $$t = 1,7 \, \textrm{s}$$, $$\boxed{v = 7,90 \, \textrm{m/s}}$$
(b) $$\boxed{b = 1,60 \cdot 10^{-3} \, \textrm{kg/m}}$$
(c) Sim, Bola C
[/spoiler]
Questão 7.
Um carro está estacionado em um plano inclinado de ângulo θ = 30◦. Para se assegurar que não deslize,
foram colocados calços sob as rodas, conforme esquema na figura. O calço, que está fixo no plano inclinado, forma
ângulo α com ele. Considere uma roda em equilíbrio estático no qual atua uma força F de intensidade de 6000 N. Essa força, aplicada no eixo da roda, corresponde à resultante da carga do carro mais o peso da própria roda. Desconsidere as forças de atrito. Determine $$N_P$$ e $$N_C$$, respectivamente, as intensidades das forças que o plano inclinado e o calço exercem na roda, nos seguintes casos:
(a) α = 45◦
(b) α = 60◦
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Dinâmica/Estática
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
As forças atuantes na roda são:
Agora, temos que decompor as forças em suas componentes paralelas e perpendiculares ao plano. Para deixar a imagem menos poluídas, representaremos apenas as forças e os ângulos:
OBS: Se você está com dificuldade em entender como o ângulo entre a força $$N_C$$ e a direção perpendicular foi calculado, observe a representação a seguir:
Agora, basta decompormos as forças, calcularmos as forças resultantes em cada direção, igualando-as a 0.
A força resultante na direção paralela ao plano é:
$$N_Csen(\alpha)-Fsen(\theta)=0$$
A força resultante na direção perpendicular ao plano é:
$$N_P+N_Ccos(\alpha)-Fcos(\theta)=0$$.
Resolvendo esse sistema, temos que:
$$N_C=F\frac{sen(\theta)}{sen(\alpha)}$$
$$N_P=F(cos(\theta)-\frac{sen(\theta)}{tg(\alpha)})$$
Substituindo o valor de $$\theta$$ e os respectivos valores de $$\alpha$$, obtemos os seguintes valores:
a) $$N_C=4285,7$$, $$N_P=2100N$$
b) $$N_C=3.529,4 0N$$, $$N_P=3.335,3N$$
OBS: No item b), os valores $$N_C$$ e $$N_P$$ estão diferentes porque usamos a aproximação de $$\sqrt{3}$$ dada pela prova. Se usassemos o valor exato, obteríamos que, no item b), tanto $$N_C$$ quanto $$N_P$$ são iguais a $$3.464,10N$$.
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$N_C=4285,7$$, $$N_P=2100N$$, b) $$N_C=3.529,4 0N$$, $$N_P=3.335,3N$$
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Questão 8.
Um copo com base quadrada de lado 5,00 cm e altura 12,0 cm contém 270 cm3 de água. O copo está fixado em uma base de comprimento L = 15,0 cm, que pode ser
inclinada variando-se a altura h, conforme esquema dado
na figura ao lado. Determine:
(a) A altura do nível da água em relação ao fundo do
copo quando a base de fixação é horizontal (h = 0 cm).
(b) A altura h de inclinação da base de fixação quando a água no copo está na iminência de derramar.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Dinâmica/Estática
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
Notação
$$a \rightarrow$$ largura da base do recipiente; $$a=5 cm$$
$$b \rightarrow$$ altura do recipiente; $$b=12 cm$$
$$H \rightarrow$$ altura da água quando $$h=0$$
O volume de água é dado por $$V=a^2H$$. Segundo o enunciado $$V=270 cm^3$$. Assim:
$$V=270=5^2H \rightarrow H=\frac{270}{25}=10,8 cm$$
b) O recipiente estará na iminência de derramar quando o líquido atingir o vértice superior direito do copo, como representado na figura a seguir.
O volume de água pode ser obtido multiplicando a área do trapézio azul por $$a$$.
A área do trapézio é dada por (Base Maior + Base Menor)*Altura $$\frac{1/2}$$.
A base maior é $$b$$
A base menor é $$b-d$$, onde $$d$$ pode ser obtido geometricamente: $$d=atg(\alpha)$$.
A altura do trapézio é $$a$$
Dessa forma, o volume de água é:
$$V=(b+b-atg(\alpha))a\frac{1}{2}$$. Novamente, segundo o enunciado, $$V=270 cm^3$$.
Assim:
$$(2*12-5tg(\alpha))5\frac{1}{2}=270 \rightarrow tg(\alpha)=0,24$$
Por geometria, vemos que $$tg(\alpha)=\frac{h}{\sqrt{L^2-h^2}} \rightarrow h=\frac{tg(\alpha)L}{\sqrt{1+tg^2(\alpha)}}=\frac{0,24*15}{\sqrt{1+0,24^2}}=3,50cm$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)10,8 cm b) 3,50 cm
[/spoiler]