Matemática – Soluções Semana 28

Seja P o primeiro pino que voltou para a sua posição inicial. Um movimento antes dele voltar para sua casa, cada um dos outros pinos deve ter feito um movimento. De fato, se isso não fosse verdade, P não poderia ter passado por todas as casas do tabuleiro. Desse modo, este será o momento em que todos os pinos estarão em casas diferentes das iniciais.

Se $$n+2$$ e $$n^2+n+1$$ são ambos cubos perfeitos, então seu produto também é um cubo perfeito:

$$(n+2)(n^2+n+1)=(n-1)(n^2+n+1)+3\cdot(n^2+n+1)=(n^3-1)+(3n^2+3n+3)=(n+1)^3+1$$

Absurdo! Não existem dois cubos perfeitos cuja diferença é $$1$$.

$$x^2-6y+10=4\sqrt{3x-2}-4y$$

$$y^2-4x+11=6\sqrt{4y-3}-3x$$

Somando temos:

$$x^2-4x+4+y^2-6y+9+8=4\cdot\sqrt{3x-2}-4y+6\sqrt{4y-3}-3x$$

Chame $$a=\sqrt{3x-2}$$ e $$b=\sqrt{4y-3}$$. Temos:

$$(x-2)^2+(y-3)^2+8=4a-4y+6b -3x$$

$$(x-2)^2+(y-3)^2+(4y-3)+(3x-2)+13-4a-6b=0$$

$$(x-2)^2+(y-3)^2+a^2-4a+4+b^2-6b+9=0$$

$$(x-2)^2+(y-3)^2+(a-2)^2+(b-3)^2=0$$

Portanto:

$$x=2$$ ou $$y=3$$ ou $$a=2 \Rightarrow x=2$$ ou $$b=3 \Rightarrow y=3$$

Logo $$x=2$$ e $$y=3$$ é solução única.