Iniciante
Há, em geral entre as pessoas, a “mania” chata de dizer que algo está quente, ou que algo está frio. Contudo, esses termos estão errados, não existe algo tal como “quente” ou “frio”, ou se existe não cabe a essa sensação que você sente tal nomenclatura. O que de fato existe é condução térmica, considere por exemplo você pegando num metal “frio”, numa temperatura menor que a sua. Ao pegar nele, com sua mão por exemplo, você tem uma sensação térmica de “frio”, e isso se deve ao fato de que entre o metal e sua mão há uma diferença de temperatura,e mediante uma diferença de temperatura, existirá condução de energia,e é isso que você sente. Metais geralmente conduzem calor muito bem, e por isso você tem uma sensação mais acentuada de “frio” ou “quente” quando pega em um. A história já não é a mesma para madeira, que se comporta mais como um isolante térmico.
Intermediário
Podemos escrever, usando a primeira lei da termodinâmica:
$$Q=\Delta U+W$$
Que pode ser reescrita para pequenas trocas energéticas:
$$dQ=dU+PdV$$
A energia interna do sistema devido ao gás é dada por:
$$U_{gas}=\frac{3nRT}{2}$$
Mas a mola também tem uma energia,dada por:
$$U_{mola}=\frac{kx^2}{2}$$
Contudo, já que todos processos mola-gás são quase estáticos:
$$F_{res}=0 —> kx=PA (1)$$
Em que $$A$$ é a área do pistão,$P$ a pressão do gás,$$x$$ a deformação da mola.
Jogando (1) na equação de energia da mola:
$$U_{mola}=\frac{kx^2}{2}=\frac{1}{2} \frac{kx}{A} Ax=\frac{PV}{2}=\frac{nRT}{2}$$
$$U=U_{mola}+U_{gas}=\frac{3nRT}{2}+\frac{nRT}{2}=2nRT$$
Avançado
Podemos usar para uma coluna infinitesimal de ar a lei de Halley:
$$dP=-\rho g dh$$
Mas,já que estamos falando de um gás num processo adiabático,temos:
$$\frac{T}{P^{\frac{\gamma -1}{\gamma}}}=cte$$
$$\frac{dT}{T}=\frac{\gamma-1}{\gamma} \frac{dP}{P}$$
E também sabemos que:
$$\rho=\frac{PM}{RT}$$
Logo:
$$\frac{dT}{T} P \frac{\gamma}{\gamma -1}=-\frac{PM}{RT} gdh$$
$$\Delta T=-\frac{\gamma-1}{\gamma}\frac{Mg\Delta h}{R}$$
$$T=T_{o}-\frac{(\gamma-1)Mgh}{\gamma R}$$
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