Escrito por Davi Lucas
Iniciante
Trufas roubadas.
O Sr. Trufa está perseguindo um bandido que roubou algumas de suas deliciosas sobremesas. A perseguição acontece no equador do planeta Iuam, que possui massa \( M = 7.31\times 10^{22} \, \rm{kg} \) e raio \( R = 1.94 \times 10^{5} \, \rm{m} \). Trufa atingiu uma velocidade \( v \) tão alta que não toca os pés no chão e continua em movimento. Determine o valor mínimo de \( v \).
Intermediário
Romene mais leve
O astrônomo Romene está comemorando seu 22º aniversário, e seu colega MaxBad quer lhe dar um presente especial. Recentemente, Romene mencionou que estava sem dinheiro para frequentar uma academia. Para inovar, MaxBad decidiu presenteá-lo com uma viagem a um lugar onde o peso do aniversariante seria diferente devido à variação da gravidade efetiva. As opções são Belo Horizonte (\(\phi = 19.91^{\circ} S\), \(\lambda = 43.94^{\circ} O\)) e Fortaleza (\(\phi = 3.72^{\circ} S\), \(\lambda = 38.54^{\circ} O\)). MaxBad acredita que a experiência de sentir-se mais leve será interessante e inesquecível para Romene. Considerando que a velocidade angular da Terra \( w \) é baixa, ajude MaxBad a escolher o local da viagem e justifique sua escolha com cálculos.
Avançado
Hiratinha com dor de cabeça
O astronauta CJ disparou um laser superpotente em direção à Georgia Tech, onde sua amiga Hiratinha estava. CJ queria avisá-la que havia encontrado água em Marte, mas acidentalmente acertou a cabeça dela com o laser. Ao ser atingida, Hiratinha ficou curiosa para descobrir a origem da luz e qual era a pressão do impacto do laser em sua cabeça. Infelizmente, Hiratinha não tinha conhecimento técnico suficiente para resolver essa questão, então você a ajudará a desenvolver os cálculos necessários nos próximos itens.
a) O raio de luz do laser atingiu a atmosfera da Terra, onde sofreu reflexão e refração. Segundo Hiratinha, o primeiro passo necessário era modelar a atmosfera como um gás ideal para analisar suas influências ópticas. No entanto, para isso, ela precisava determinar a variação da pressão ao longo da atmosfera. Sabendo que a aceleração da gravidade é \( g \), ajude Hiratinha encontrando \(\frac{dP}{dr}\).
b) Além disso, Hiratinha precisará determinar a densidade de certas camadas específicas, como a mesosfera, nos próximos itens. Portanto, ao modelar a atmosfera como um gás que passa por transformações adiabáticas, encontre uma relação entre a pressão e a densidade em distintas camadas, em função do coeficiente de Poisson \( \gamma \).
c) Um dos feixes de luz de CJ conseguiu a proeza de parar de se refratar e se prender em um movimento circular a uma altura \( h \) do centro da Terra. Hiratinha percebeu que, ao determinar o ângulo de incidência \( \beta \) na mesosfera, poderia identificar de onde CJ estaria atirando. Continuemos com o modelo adiabático da atmosfera, assumindo a atmosfera como um gás ideal com massa molar \( \mu \) e temperatura \( T_0 \) ao nível do mar. Além disso, sabendo que a Terra e toda a sua mesosfera estejam contidas em uma esfera de raio \( r \), e que o índice de refração \( n \) seja proporcional à densidade \( \rho \), determine \( \beta \).
Parabéns! Hiratinha analisou o ângulo \( \beta \) que você encontrou e descobriu que CJ estava em Marte.
Agora ela quer esclarecer outra dúvida: qual a força exercida sobre sua cabeça. No próximo item, você pode considerar a constante solar \(F_{\odot}\) e a magnitude do Sol \( m_{\odot} \).
d) Supondo que o feixe que atingiu a cabeça de Hiratinha também tinha um ângulo de incidência \( \beta \), que a atmosfera da Terra é equivalente a uma fina camada de albedo \(\alpha \), e que a magnitude aparente do laser é \( m \), determine a pressão \( P \) causada pelo laser na cabeça de Hiratinha.