Escrito por Lucas Rivelli
Iniciante
Como demonstrado pela questão, Júlio é alguém preguiçoso que não gosta de trabalhar, mas gosta de aproveitar o resultado desse trabalho. Dessa forma, podemos tratar o esforço como sendo um bem mal, na qual quanto menos, melhor.
Essas curvas de indiferença podem ser representadas por meio do seguinte gráfico:
Intermediário
Primeiro é necessário observar o que as afirmações dizer sobre as cestas de consumo.
Primeiramente, é evidente que, dado que $$A \succeq E$$ e $$E \succeq A$$,
$$A \sim E$$. Além disso, $$I \sim A$$, o que nos permite afirmar que as $$I \sim E $$. Ou seja, é possível afirmar que, dado que os bens são substitutos perfeitos, as curvas de indiferença serão no seguinte formato.
Com base nessas informações, é possível afirmar que as afirmações 1, 3, 5 estão verdadeiras.
Avançado
Primeiramente, é necessário encontrar qual é a restrição orçamentária de todos os habitantes da cidade. Como demonstrado pela seguinte equação: $$ S_n = 15\cdot 204 = 3060 $$
Como a utilidade de todos é igual, podemos usar a restrição orçamentária total da cidade. Agora, é necessário encontrar quanto será consumido. Para isso, precisamos achar o ponto no qual a razão entre os preços é equivalente à razão entre as utilidades marginais (o ponto de tangência das curvas).
$$ \frac{MU_G}{MU_R} = \frac{P_G}{P_R} $$
$$ \frac{MU_G}{MU_R} = \frac{9}{4} $$
Para descobrir a utilidade marginal de ambos os produtos, basta calcular a derivada parcial com base na equação de utilidade. Dessa forma:
$$MU_{x_G} = \frac{\partial}{\partial x_G}(x_G^{0,25}x_R^{0,75}) $$
$$MU_{x_G} = \frac{\partial}{\partial x_G}(x_G^{\frac{1}{4}}x_R^{\frac{3}{4}}) $$
$$MU_{x_G} = \frac{\sqrt[4]x_R^3}{4\sqrt[4]x_G^3} $$
Realizando o mesmo processo para $$MU_{x_R}$$:
$$MU_{x_R} = \frac{\partial}{\partial x_G}(x_G^{0,25}x_R^{0,75}) $$$$MU_{x_R} = \frac{\partial}{\partial x_R}(x_G^{\frac{1}{4}}x_R^{\frac{3}{4}}) $$
$$MU_{x_R} = \frac{3\sqrt[4]x_G}{4\sqrt[4]x_R} $$
essa forma, é possível chegar na seguinte equação:
$$\frac{\frac{\sqrt[4]X_R^3}{4\sqrt[4]X_G^3}}{\frac{3\sqrt[4]X_G}{4\sqrt[4]X_R}} = \frac{9}{4} $$
$$ \frac{ x_R}{3x_G} = \frac{9}{4}$$
$$4x_R = 27x_G $$
Por fim, chegamos no seguinte sistema:
$$4x_R = 27x_G $$
$$ 3060 = 9x_G + 4x_R $$
Em que $$x_G = 85$$ e $$ x_R = 573,75 $$.