Escrito por Davi Lucas
Iniciante
Trufas roubadas.
Para que o Sr. Trufa continue em movimento sem tocar os pés no chão, é necessário que ele esteja em órbita. Considerando uma órbita circular ao redor do equador do planeta Iuam, podemos determinar a velocidade orbital sabendo que a força gravitacional atua como a resultante centrípeta do movimento:
\[ F_g = F_{cp} \]
\[ \frac{GMm}{R^2} = \frac{mv^2}{R} \]
\[ \frac{GM}{R} = v^2 \]
Assim, a velocidade de uma órbita circular é:
\[ v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \]
Substituindo os valores do enunciado:
\[\boxed{ v = 5,01 \rm{km/s}}\]
Intermediário
Romene mais leve
Analisando o caso de uma pessoa na latitude \(\phi\) de um planeta que gira com velocidade angular \(w\) e tem raio \(R\), a gravidade efetiva experimentada por essa pessoa não será apenas a aceleração gravitacional \( \vec{g} \). Devemos também considerar a aceleração centrífuga \( \vec{a_{cf}} \) advinda da pessoa acompanhar rotação do planeta realizando movimento circular de raio \(r\).
Usando ângulos alternos internos, podemos encontrar o triângulo da figura seguinte e descobrir que \( r = R \cos \phi \).
A aceleração centrífuga de um movimento circular pode ser expressa como \(a_{cf} = w^2r = w^2 R \cos \phi\). Vale ressaltar que estamos utilizando a aceleração centrífuga, e não a centrípeta, pois estamos analisando o referencial girante, que, neste caso, é a pessoa.
Podemos somar os vetores \( \vec{g} \) e \( \vec{a_{cf}} \) para obtermos a gravidade efetiva \( g_{ef} \):
Utilizando a regra do paralelogramo acima, podemos aplicar a lei dos cossenos:
\[ g_{ef}^2 = g^2 + a_{cf}^2 – 2 \cdot g \cdot a_{cf} \cdot \cos \phi\]
Substituindo \( a_{cf} = w^2 R \cos \phi \):
\[ g_{ef}^2 = g^2 + w^4 R^2 \cos^2 \phi – 2g w^2 R \cos^2 \phi\]
Como o enunciado menciona que \( w \) é baixo, podemos desprezar o termo contendo \( w^4 \):
\[ g_{ef}^2 \approx g^2 – 2g w^2 R \cos^2 \phi\]
Evidenciando \( g \) e tirando a raiz:
\[ g_{ef} \approx g \left(1 – \frac{2w^2 R \cos^2 \phi}{g} \right)^{\frac{1}{2}} \]
Novamente, como \( w \) é baixo, podemos aplicar uma aproximação binomial:
\[ g_{ef} \approx g \left(1 – \frac{w^2 R \cos^2 \phi}{g} \right) \]
\[ \boxed{g_{ef} \approx g – w^2R\cos^2 \phi} \]
Com o resultado encontrado e a devida análise da função cosseno, percebe-se que, quanto maior a latitude \( \phi \), maior será a gravidade efetiva. Portanto, para minimizar o peso efetivo de Romene, buscamos a menor gravidade efetiva, o que corresponde à menor latitude. Entre as opções disponíveis, a de menor latitude é Fortaleza.
Avançado
Hiratinha com dor de cabeça
a) Considerando uma camada de espessura \( dr \) da atmosfera, com área de contato \( A \) entre as camadas vizinhas e densidade aproximadamente constante \( \rho \), podemos estabelecer o equilíbrio de forças levando em conta a pressão exercida pelas camadas vizinhas e a força peso:
Pelo equilíbrio de forças:
\[ (P + dP) dA + mg – PA = 0 \]
\[ (P + dP) dA + mg = PA \]
\[ dP dA + mg = 0 \]
\[ dP dA = -mg \]
\[ dP = – \frac{mg}{dA} \]
Dividindo por \( dr \) em ambos os lados:
\[ \frac{dP}{dr} = – \frac{mg}{dA \cdot dr}\]
\[ \frac{dP}{dr} = – \frac{mg}{dV}\]
Como \( \rho = \frac{m}{dV} \):
\[ \boxed{\frac{dP}{dr} = – \rho g} \]
b) Pela primeira lei da termodinâmica, temos que \( dq = dU + dW \)
Como o enunciado estabeleceu o modelo da atmosfera adiabática: \(dq = 0 \)
Assim, \( dU = – dW \)
Utilizando as devidas definições termodinâmicas de \(dU \) e \( dW \):
\[ n C_v dT = – P dv\]
Utilizando Clayperon para substituir \( P = \frac{nRT}{V} \):
\[ n C_v dT = – \frac{nRT dV}{V}\]
\[ C_v \frac{dT}{T} = -R \frac{dV}{V}\]
\[ \frac{dT}{T} = – \frac{R}{C_v} \frac{ dV}{V} \]
A partir da definição de que \(C_p = C_v + R \)
Divindo ambos lados da equação por \(C_v \) e definindo \( \gamma = \frac{C_p}{C_v} \), temos que \( \gamma = 1 + \frac{R}{C_v} \).
Assim, \( \frac{R}{C_v} = \gamma – 1 \)
Substituindo na equação que estávamos trabalhando:
\[ \frac{dT}{T} = ( \gamma – 1 ) \frac{dV}{V} \]
Integrando:
\[ \int_{T_0}^{T_f} \frac{dT}{T} = ( \gamma – 1 ) \int_{V_0}^{V_f} \frac{dV}{V} \]
Como \( \int_{X_0}^{X} \frac{dx}{x} = \ln \left(\frac{X}{X_0} \right) \):
\[ \ln \left(\frac{T_f}{T_0} \right) = (\gamma – 1) \ln \left(\frac{V_f}{V_0} \right) \]
Com as devidas propriedades do logaritmo, temos que:
\[ \ln \left(\frac{T_f}{T_0} \right) = \ln \left({\frac{V_f}{V_0}}^{\gamma – 1} \right) \]
\[ \frac{T_f}{T_0} = {\frac{V_f}{V_0}}^{\gamma – 1} \]
Chegando em:
\[ {V_f}^{\gamma – 1} T_f = {V_0}^{\gamma – 1} T_0 \]
Pela lei de Clayperon, temos que \( T = \frac{PV}{nR} \):
\[ P_f V_f^{\gamma} = P_0 V_0^{\gamma} \]
Divindindo ambos os lados pela massa, como \( \rho = \frac{m}{V} \):
\[ \boxed{P_f \rho_f^{-\gamma} = P_0 \rho_0^{-\gamma}} \]
c) O ponto de incidência na mesosfera está em uma camada infinitesimal com densidade \( \rho \), enquanto a camada a uma distância \( h \) do centro da Terra possui densidade \( \rho_0 \). As camadas superiores à mesosfera têm um índice de refração resultante \( n_1 \), enquanto a camada entre a distância \( r \) e \( h \), destacada em vermelho na imagem abaixo, possui índice de refração \( n_2 \):
Com essas definições e os dados fornecidos no enunciado, podemos aplicar a Lei de Snell e o conceito de ângulo limite:
\[ n_1 \sin \beta = n_2 \sin 90^{\circ} \]
\[ \sin \beta = \frac{n_2}{n_1} \]
Como os índices de refração são proporcionais à densidade:
\[ \sin \beta = \frac{\rho_0}{\rho} \]
Agora, precisamos determinar a razão entre as densidades \( \rho_0 \) e \( \rho \). Para isso, primeiro encontraremos a densidade em função da pressão da camada analisada e da temperatura ao nível do mar. Utilizaremos os índices \( P_m \) e \( T_m \) para não confundir com \( P_0 \), que está associada à camada de \( \rho_0 \). De acordo com a lei das transformações adiabáticas mencionada no item anterior:
\[ \rho = \rho_m \left(\frac{P}{P_m}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\]
Por Clayperon:
\[ P_m \mu = \rho_m R T_m\]
\[ \rho_m = \frac{P_m \mu}{RT_m} \]
Desse modo, temos que:
\[ \rho = P^{\frac{1}{\gamma}} \cdot P_m^{1 – \frac{1}{\gamma}} \frac{\mu}{RT_m}\]
Agora que temos qualquer densidade em função da pressão da camada analisada, assim como a pressão e a temperatura ao nível do mar, podemos utilizar a relação do item A para descobrir essa pressão qualquer em uma camada a distância r do nível do mar:
\[ \frac{dP}{dr} = – \rho g \]
\[ \int_{P_m}^{P} P^{- \frac{1}{\gamma}} dP = – P_m \frac{\mu g}{R T_m} \int_{0}^{r} dr\]
\[ \frac{\gamma-1}{\gamma} (P^{1-\frac{1}{\gamma}} – P_m^{1-\frac{1}{\gamma}}) = -P_m^{1 – \frac{1}{\gamma}} \frac{\mu g r}{RT_m}\]
\[ P^{1-\frac{1}{\gamma}} – P_m^{1-\frac{1}{\gamma}} = -\frac{\gamma}{\gamma – 1}P_m^{1 – \frac{1}{\gamma}} \frac{\mu g r}{RT_m}\]
\[ P^{1-\frac{1}{\gamma}} = \left(1 – \frac{\gamma \mu g r}{RT_m (\gamma – 1)} \right) P_m^{1 – \frac{1}{\gamma}}\]
\[ P = P_m \left(1 – \frac{\gamma \mu g r}{RT_m (\gamma – 1)} \right)^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}}\]
Com este resultado, agora podemos especificar a pressão nas camadas desejadas na questão. Sendo \( P \) a pressão associada à densidade \( \rho \) e \( P_0 \) a pressão associada à densidade \( \rho_0 \), consulte a imagem novamente para entender melhor os índices. Utilizando \( R_{\oplus}\) como o Raio da Terra:
\[ P = P_m \left(1 – \frac{\gamma \mu g (r – R_{\oplus}) }{RT_m (\gamma – 1)} \right)^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}}\]
\[ P_0 = P_m \left(1 – \frac{\gamma \mu g (h – R_{\oplus}) }{RT_m (\gamma – 1)} \right)^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}}\]
A razão \( \frac{P}{P_0} \) é:
\[ \frac{P}{P_0} = \left( \frac{RT_m(\gamma -1) – \gamma \mu g ( r – R_{\oplus})}{RT_m(\gamma -1) – \gamma \mu g ( h – R_{\oplus})}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\]
Agora que já temos a razão entre as pressões das duas camadas analisadas utilizando o modelo adiabático, podemos determinar a razão entre as densidades correspondentes. Com isso, seremos capazes de calcular o ângulo de incidência.
Utilizando a relação descoberta no item b)
\[ P \rho^{-\gamma} = cte \]
Derivando:
\[ dP \rho^{-\gamma} = P \gamma \rho^{-\gamma – 1} d\rho \]
Dividindo por \( \rho^{-\gamma} \) em ambos os lados:
\[ dP = \gamma P \frac{d\rho}{\rho} \]
\[ \frac{dP}{P} = \gamma \frac{d\rho}{\rho} \]
Integrando:
\[ \int_{P_0}^{P} \frac{dP}{P} = \gamma \int_{\rho_0}^{\rho} \frac{d \rho}{\rho} \]
\[ \ln \left(\frac{P}{P_0}\right) = \gamma \ln \left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)\]
Dessa forma, descobrimos que:
\[ \frac{P}{P_0} = \frac{\rho}{\rho_0} e^{\gamma} \]
\[ \frac{\rho_0}{\rho} = \frac{P_0}{P} e^{\gamma}\]
Utilizando o resultado encontrado de \( \frac{P}{P_0} \):
\[ \frac{\rho_0}{\rho} = e^{\gamma} \left( \frac{RT_m(\gamma -1) – \gamma \mu g ( r – R_{\oplus})}{RT_m(\gamma -1) – \gamma \mu g ( h – R_{\oplus})}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} \]
Utilizando o resultado encontrado, \( \beta = \arcsin \left( \frac{\rho_0}{\rho} \right) \), e a notação da temperatura ao nível do mar como \( T_0 \) (evitada durante a solução para não confundir com a temperatura da camada associada a \( \rho_0 \)):
\[ \boxed{\beta = \arcsin \left( e^{\gamma} \left( \frac{RT_0(\gamma -1) – \gamma \mu g ( r – R_{\oplus})}{RT_0(\gamma -1) – \gamma \mu g ( h – R_{\oplus})}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} \right )} \]
d) Ao analisar a variação de momento na “colisão dos fótons com a atmosfera”, devemos considerar a definição de albedo \( \alpha = \frac{P_r}{P_i} \) e a figura a seguir:
O único momento que causará força na cabeça de Hiratinha é aquele na direção normal, considerando os vetores \( p \cos \beta \) e \( -\alpha p \cos \beta \), que representam o momento dos fótons que chegam e são refletidos, respectivamente. Portanto, sendo \( \overline{p} \) o momento médio de um fóton e \( dN \) o número infinitesimal de fótons que atingem a cabeça em um intervalo \( dt \), a variação de momento é:
\[ dp = \overline{p} \cos \beta dN – (- \alpha \overline{p} \cos \beta dN ) \]
\[ dp = ( 1 + \alpha) \overline{p} dN \cos \beta\]
O número infinitesimal de fótons \( dN\) que atingem a cabeça pode ser expresso em função da densidade volumétrica de fótons \( \eta \), da área da cabeça \( A \), da velocidade da luz \( c \) e do intervalo de tempo \( dt \):
\[ dN = \eta A c dt \]
Assim:
\[ dp = ( 1 + \alpha) \overline{p} \eta A c dt \cos \beta \]
\[ \frac{dp}{A dt} = ( 1 + \alpha) \overline{p} \eta c \cos \beta \]
Encontramos que a pressão P é:
\[ P = ( 1 + \alpha) \overline{p} \eta c \cos \beta \]
No entanto, agora, para expressar a pressão \( P \) em função das variáveis do problema, analisaremos o fluxo de fótons:
\[ \phi = \frac{1}{A} \frac{dN}{dt} \]
\[ \phi = \eta c \]
Com o fluxo de fótons determinado, podemos expressar o fluxo de energia \( F \) em função da energia média de um fóton \( \overline{\varepsilon} \):
\[ F = \phi \overline{\varepsilon} \]
\[ F = \eta c \overline{\varepsilon} \]
Sabendo que \( \overline{\varepsilon} = \overline{p} c \):
\[ F = n \overline{p} c^2 \]
\[ n \overline{p} c = \frac{F}{c} \]
Substituindo isso na expressão para a pressão, obtemos:
\[ P = ( 1 + \alpha) \cos \beta \frac{F}{c} \]
Perceba que devemos encontrar o \( cos \beta \) pela identidade trigonométrica \( \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \):
\[ \cos^2 \beta = 1 – \sin^2 \beta\]
\[ \cos^2 \beta = 1 – \left( e^{2\gamma} \left( \frac{RT_0(\gamma -1) – \gamma \mu g ( r – R_{\oplus})}{RT_0(\gamma -1) – \gamma \mu g ( h – R_{\oplus})}\right)^{\frac{2 \gamma}{\gamma-1}} \right )\]
\[ \cos\beta = \sqrt{ 1 – \left( e^{2\gamma} \left( \frac{RT_0(\gamma -1) – \gamma \mu g ( r – R_{\oplus})}{RT_0(\gamma -1) – \gamma \mu g ( h – R_{\oplus})}\right)^{\frac{2 \gamma}{\gamma-1}} \right )} \]
Além disso, note que ainda não temos o fluxo do laser. Iremos encontrá-lo usando a equação de Pogson:
\[ m – m_{\odot} = -2.5 \log \left(\frac{F}{F_{\odot}} \right) \]
Logo:
\[ F = F_{\odot} \cdot 10^{\frac{m-m_{\odot}}{2.5}}\]
Substituindo o fluxo do laser \( F \) e \( \cos \beta \) na expressão de pressão encontrada anteriormente:
\[ \boxed{P = \frac{( 1 + \alpha) F_{\odot} \cdot 10^{\frac{m-m_{\odot}}{2.5}}}{c} \sqrt{ 1 – \left( e^{2\gamma} \left( \frac{RT_0(\gamma -1) – \gamma \mu g ( r – R_{\oplus})}{RT_0(\gamma -1) – \gamma \mu g ( h – R_{\oplus})}\right)^{\frac{2 \gamma}{\gamma-1}} \right )}} \]