INICIANTE:
Por absurdo, suponha que exista. Em particular, $$a$$ não é múltiplo de $$p$$. Elevando a congruência à $$\dfrac{p-1}{2}$$-ésima potência e aplicando o Teorema de Fermat, obtemos:
$$a^{p-1} \equiv (-1)^{\dfrac{p-1}{2}} \pmod{p}$$
$$ 1 \equiv -1 \pmod{p}$$,
pois $$\dfrac{p-1}{2}$$ é ímpar. Isso nos dá a contradição requerida.
INTERMEDIÁRIO:
Da relação do problema, temos:
$$a^3=6(a+1)$$
$$\Rightarrow a^2=\dfrac{6(a+1)}{a}$$ (1)
pois $$a$$ é positivo. Por absurdo, se a equação do segundo grau requerida tem solução real, então seu discriminante é não-negativo:
$$a^2 – 4(a^2-6) \ge 0 $$
$$-3a^2+24 \ge 0 $$
$$8 \ge a^2 $$
o que, por (1) equivale a:
$$8 \ge \dfrac{6(a+1)}{a}$$
$$a \ge 3$$
$$a^2 \ge 9 $$,
contradizendo $$8 \ge a^2$$.
AVANÇADO:
Seja $$d=mdc(a,b)$$, digamos
$$a=d\cdot a_0$$
$$b=d\cdot b_0$$
onde o $$mdc(a_0,b_0)=1$$. Então:
$$2^{a}-1=2^{d\cdot a_0}-1=(2^{d}-1)\cdot(2^{d(a_0 -1)}+2^{d(a_0-2)}+…+1)$$
é múltiplo de $$2^d-1$$. Aplicando a mesma fatoração para $$2^{b}-1$$, segue que
$$2^{d}-1 \div mdc(2^{a}-1,2^{b}-1)$$.
Para a divisibilidade inversa, sejam $$x,y$$ inteiros positivos tais que
$$d=ax-by$$.
Então $$2^{ax}-1, 2^{by}-1$$ são múltiplos de $$mdc(2^{a}-1,2^{b}-1)$$ e daí
$$mdc(2^{a}-1,2^{b}-1) \div (2^{ax}-1)-(2^{by}-1)$$
$$mdc(2^{a}-1,2^{b}-1) \div 2^{d+by}-2^{by}$$
$$mdc(2^{a}-1,2^{b}-1) \div 2^{by}(2^{d}-1)$$
$$mdc(2^{a}-1,2^{b}-1) \div 2^{d}-1$$
pois $$mdc(2^{a}-1,2^{b}-1)$$ é ímpar.
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