Escrito por Lucas Tavares, Pedro Tsuchie, Lucas Praça, Vitor Takashi, João Victor Evers e Athur Gurjão
Você pode acessar a prova clicando aqui
Questão 1.
Uma barra de $$200 \;\rm{g}$$ de uma substância à temperatura inicial $$T_i = 0 ^{\circ}C$$ é aquecida dentro de um recipiente que lhe transfere energia na forma de calor a uma taxa constante. A figura ao lado mostra a variação da temperatura da substância em função do tempo. Sabendo que ao final de $$18$$ minutos foram transferidas $$453,6\;\rm{kJ}$$, determine:
(a) O calor latente de fusão desta substância em $$\rm{cal/g}$$.
(b) A razão $$c_l/c_s$$ onde $$c_l$$ e $$c_s$$ são, respectivamente, os calores específicos desta substância nas
fases líquida e sólida.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Calorimetria
[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) Com a energia total (E) e o tempo total (t), podemos achar a potência transferida:
$$P = E/t = 420\;\rm{W}$$
Com isso, podemos pegar o tempo que demora a fusão para achar o calor latente:
$$P t_F = m L$$
$$L = P t_F/m$$
Portanto:
$$\boxed{L = 180\;\rm{cal/g}}$$
(b) Com o a variação de temperatura e o tempo em cada fase, podemos escrever que:
$$P = m c_l \Delta T_l / t_l = m c_s \Delta T_s / t_s$$
$$c_l /c_s = \Delta T_s t_l/ t_s \Delta T_l $$
Portanto:
$$\boxed{c_l /c_s = 0,75}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{L = 180\;\rm{cal/g}}$$
b)
$$\boxed{c_l /c_s = 0,75}$$
[/spoiler]
Questão 2
A figura ao lado mostra um fio que passa por duas polias ideais e que é tensionado por dois blocos de massa $$M = 6,00 \;\rm{kg}$$ que estão presos às suas extremidades. O trecho horizontal do fio tem comprimento $$L = 0,90 \;\rm{m} $$ e o conjunto está em equilíbrio estático. O diâmetro do fio é $$0,40 \;\rm{mm}$$ e a densidade do aço é $$8000 \rm{kg/m^3}$$. Determine:
(a) A densidade linear de massa do fio, em $$\rm{g/m}$$.
(b) A menor frequência, em $$\rm{Hz}$$, da onda estacionária transversal que o trecho horizontal do fio pode apresentar.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Ondulatória
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) A densidade linear é definida por:
\[\mu=\frac{\Delta m}{\Delta l}\]
Onde $$\Delta l$$ é o comprimento de um pedaço de fio e $$\Delta m$$ sua massa. Já a densidade volumétrica é definida por:
\[\rho=\frac{\Delta m}{\Delta V}=\frac{\Delta m}{A\Delta l}\]
Onde $$\Delta V$$ é o volume do pedaço de fio de massa $$\Delta m$$. A área $$A$$ é a de seção transversal do fio. Disso, obtemos:
\[\mu=\rho A\]
E substituindo numericamente $$A=\pi r^2$$:
\[\boxed{\mu\approx 1\times 10^{-3}\;\text{kg/m}}\]
(b) A menor frequência corresponde ao harmônico fundamental, isto é, $\lambda=2L$. A velocidade da onda é dada por:
\[v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\]
A tração vale $$Mg$$. Portanto:
\[f=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{Mg}{\mu}}\]
\[\boxed{f\approx 136\;\text{Hz}}\]
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a)
\[\boxed{\mu\approx 1\times 10^{-3}\;\text{kg/m}}\]
(b)
\[\boxed{f\approx 136\;\text{Hz}}\]
[/spoiler]
Questão 3
Diodos emissores de luz, ou LEDs, da sigla em inglês Light Emiting Diode são dispositivos eletrônicos cada vez mais utilizados. A intensidade da luz emitida por um LED é uma função crescente da corrente que o percorre e que não pode superar determinado valor $$i_{max}$$ que poderia queimá-lo. Por isso, em geral, um LED é ligado em série com uma resistência de proteção cuja função é limitar a corrente. Outra característica importante de um LED é o valor mínimo da tensão $$V_0$$ abaixo do qual ele não brilha (e a corrente que o percorre é nula ou desprezível).
O circuito ao lado apresenta, ligados em série, um LED $$L$$ (entre os terminais $$a$$ e $$b$$), uma bateria ideal de tensão $$V=9,00\;\rm{V}$$ e um resistor de resistência R. Suponha que a máxima corrente suportada pelo LED seja $$i_{max} = 20,0 \;\rm{mA}$$, que o circuito opere com uma corrente de $$75%$$ de $$i_{max}$$ e que a tensão aplicada no LED seja $$V_d = 3,00 \;\rm{V}$$.
(a) Qual a potência dissipada no LED, em $$\rm{W}$$?
(b) Qual o valor de $$R$$, em $$\Omega$$ (ohms)?
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Circuitos
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Sabendo que a potência dissipada é dada por:
$$P= U \cdot i$$
No caso do LED temos que $$U = V_{d}$$ e $$i=75\% i_{max}$$. Logo,
$$P= V_{d} \cdot 0,75 \cdot i_{max}$$
Substituindo os valores do enunciado, sendo $$V_d = 3,00 \;\rm{V}$$ e $$i_{max} = 20,0 \;\rm{mA}$$:
$$P = 3 \cdot 0,75 \cdot 20 \cdot 10^{-3}$$
$$\boxed{P = 0,045 \;\rm{W}}$$
b) Pela Lei de Kirchhoff das Malhas:
$$V= R \cdot i + V_d$$
$$V= R \cdot 0,75 i_{max} + V_d$$
Sendo $$V=9 \;\rm{V}$$, $$V_d=3 \;\rm{V}$$ e $$i_{max}=20,0 \;\rm{mA}$$:
$$V= R \cdot 0,75 \cdot i_{max} + V_d$$
$$9= R \cdot 0,75 \cdot 20 \cdot 10^{-3} + 3$$
$$R= \dfrac{6}{15 \cdot 10^{-3}}$$
$$\boxed{R= 400 \;\rm{\Omega}}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{P = 0,045 \;\rm{W}}$$
b)
$$\boxed{R= 400 \;\rm{\Omega}}$$
[/spoiler]
Questão 4
Uma curva de estrada é compensada quando o plano de rodagem se inclina em direção ao centro de curvatura de um ângulo $$\theta$$ em relação à horizontal. Na figura (fora de escala) o eixo vertical $$y$$ passa pelo centro da trajetória circular de raio $$R$$ executada pelo carro. Se $$\theta = 0^{\circ}$$ a curva não é compensada.
Um engenheiro está planejando uma estrada na qual o coeficiente de atrito estático entre os pneus e o pavimento é $$\mu = 0,60 $$ e está considerando o caso em que carros trafegam com velocidade de módulo constante de $$v = 108 \;\rm{km/h}$$. Determine o menor valor de $$R$$, em $$\rm{m}$$, com o qual os carros fazem as curvas sem derrapar, nos casos:
(a) $$\theta = 0.$$
(b) $$\theta = 15^{\circ}.$$
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Dinâmica
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para resolver esse problema, devemos entender qual a direção que o atrito aponta. Realizando o diagrama de forças no carro:
ou 
Obs: no diagrama de forças, a força centrípeta não deve ser representada idealmente, mas por motivos de didatica, ela foi incluida
Do diagrama, é possível perceber que existem 2 direções possíveis para força de atrito: para diagonal-cima ou para diagonal-baixo, como na figura. De modo simples, para que tenhamos o menor raio de curvatura, resultande centrípeta deverá ser máxima, afinal $$F_{cp} = \dfrac{mv^2}{R}$$, ou seja, a resultante centrípeta é inversamente proporcional ao raio de curvatura. Portanto, para que a resultante centrípeta seja máxima, e assim o raio de curvatura seja mínimo, o atrito deverá apontar para a direção diagonal-baixo. Então, o diagrama da direita será utilizado.
Pelos diagramas de forças no eixo y (vertical):
$$N \cos \theta = F_{at} \sin \theta + mg$$
No eixo x (horizontal):
$$N \sin \theta + F_{at} \cos \theta = F_{cp}$$
Rearranjando e aplicando a definição da $$F_{at}=\mu N$$ e $$F_{cp}=\dfrac{mv^2}{R}$$:
$$N(\cos \theta – \mu \sin \theta) = mg$$
$$N(\sin \theta + \mu \cos \theta) = \dfrac{mv^2}{R}$$
Substituindo a força normal:
$$R=\dfrac{v^2}{g} \dfrac{\cos \theta – \mu \sin \theta}{\sin \theta + \mu \cos \theta}$$
a) Para $$\theta=0$$:
$$R=\dfrac{v^2}{g} \dfrac{\cos 0 – \mu \sin 0}{\sin 0 + \mu \cos 0}$$
Substituindo os valores do enunciado, sendo $$v = 108 \;\rm{km/h} = 30 \;\rm{m/s}$$, $$g = 10,0 \;\rm{m/s^2}$$ e $$\mu = 0,60$$:
$$R=\dfrac{30^2}{10 \cdot 0,6}$$
$$\boxed{R=150 \;\rm{m}}$$
b) Para $$\theta=15^{\circ}$$:
$$R=\dfrac{v^2}{g} \dfrac{\cos 15^{\circ} – \mu \sin 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ} + \mu \cos 15^{\circ}}$$
$$R=\dfrac{30^2}{10} \dfrac{0,97 – 0,6 \cdot 0,26}{0,26 + 0,6 \cdot 0,97}$$
$$\boxed{R \approx 87 \;\rm{m}}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{R=150 \;\rm{m}}$$
b)
$$\boxed{R \approx 87 \;\rm{m}}$$
[/spoiler]
Questão 5
Uma fita metálica de cobre de largura $$L = 1,00 \;\rm{cm}$$ e espessura $$d = 10 \mu \;\rm{m}$$ é percorrida por uma corrente de $$i = 2,0 \;\rm{A}$$, conforme mostra a figura. A fita está na presença de um campo magnético uniforme $$\vec{B}$$ perpendicular ao plano da fita e, portanto, na direção da espessura da fita. Nos terminais a e b, cada um deles ligado a um dos lados da fita, é conectado um voltímetro (não mostrado na figura) que mede a diferença de potencial $$V_a-V_b = 12 \mu \;\rm{V}$$. Considere que o cobre apresenta $$8,5\cdot{10^{28}}$$ elétrons de condução por $$\;\rm{m^3}$$ e adote a convenção de que $$B > 0$$ se $$\vec{B}$$ estiver saindo do papel. Determine:
(a) A velocidade de deriva dos elétrons $$v_d$$, ou seja, a velocidade associada à corrente $$i$$, em $$\rm{m/s}$$.
(b)$$ \frac{B}{|B|}$$ (Responda 1 se $$\vec{B}$$ estiver saindo do papel e −1 caso contrário.)
(c) $$|B|$$ em tesla.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Magnetismo
[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) Sabemos que a concentração de elétrons
$$\eta = \dfrac{8,5\cdot{10^{28}}}{\;\rm{m^3}}$$.
Como cada elétron tem carga $$e=-1,6\cdot{10^{-19}}C$$, isso significa que a densidade de carga volumétrica é:
$$\rho=\dfrac{Q}{Vol}=e\cdot{\eta}=-1,36\cdot{10^{10}}\;\rm{C/m^3}$$
Entretanto, sabemos também que a corrente
$$i=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$$
Como
$$Q=\rho\cdot{Vol}$$
Temos que:
$$i=\dfrac{\rho\Delta Vol}{\Delta t}$$.
$$\Delta Vol$$ é o volume “varrido” em um $$\Delta t$$ pela corrente.
$$\Delta Vol = Ld\cdot{v_d\Delta t}$$
Logo, considerando que $$\dfrac{\Delta Vol}{\Delta t}=Ld\cdot{v_d}$$, concluímos que:
$$i=\rho\cdot{Ld}\cdot{v_d}$$
$$v_d=\dfrac{i}{\rho\cdot{Ld}}$$
$$v_d=\dfrac{2}{-1,36\cdot{10^{10}} \cdot 10^{-2} \cdot 10 \cdot 10^{-6}}$$
$$v_d=\dfrac{-1}{680}$$
Portanto, a velocidade é igual a:
$$\boxed{v_d=-1,47 \cdot 10^{-3} \;\rm{m/s}}$$
Obs: Como o enunciado não especifica se a velocidade do elétron deve ser considerada apenas em módulo ou não, acreditamos que tanto a velocidade positiva quanto a negativa devem ser aceitas. Além disso, o sinal negativo indica que a velocidade é contrária ao sentido da corrente elétrica.
(b)
Sabendo que a força magnética $$\vec{F_m}=q\vec{v}\times\vec{B}$$ e que a diferença de potencial entre A e B é positiva, isso significa que a força aponta para a esquerda, já que o sentido do campo elétrico é para direita, e a carga do elétron é negativa. Se a força elétrica aponta para esquerda, então $$\vec{v_d}\times\vec{B}$$ deve apontar para a direita, por conta do sinal de menos de “$$q$$” por se tratar de um elétron. Pela regra da mão esquerda, como $$v_d$$ aponta no sentido contrário ao da corrente, o campo precisa apontar para dentro da folha. Logo,
$$\boxed{\frac{B}{|B|}=-1}$$.
(c) Sabendo que o elétron deve estar em equilíbrio de forças, temos que:
$$F_{ele}=F_{mag}$$
$$Eq = q |v_d| B$$
$$B=\dfrac{E}{|v_d|}$$
Sendo, $$V_a-V_b= E \cdot L$$:
$$B=\dfrac{V_a-V_b}{L|v_d|}$$
Portanto,
$$B=\dfrac{ 12 \cdot 10^{-6}}{10^{-2} \cdot 1,47 \cdot 10^{-3}}=\dfrac{40}{49}$$
$$\boxed{|B|=0,816 \;\rm{T}}$$
[/spoiler] [spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{v_d=-1,47 \cdot 10^{-3} \;\rm{m/s}}$$
b)
$$\boxed{\frac{B}{|B|}=-1}$$.
c)
$$\boxed{|B|=0,816 \;\rm{T}}$$
[/spoiler]
Questão 6
Fazendo uma trilha com sua bicicleta, um ciclista desce uma rampa com uma velocidade constante de $$6,0 \;\rm{m/s}$$. A figura abaixo à esquerda, na qual $$H = 9,00 \;\rm{m}$$ e $$L = 12,0 \;\rm{m}$$, mostra a rampa e a figura abaixo à direita mostra o sistema de freios a disco instalados nas duas rodas da bicicleta. Ao acionar o freio com a roda em movimento a peça A aplica uma força dissipativa de intensidade F no disco a uma distância média de $$R = 80 \;\rm{mm}$$ do eixo de rotação. Nesta bicicleta as rodas têm diâmetro de $$700 \;\rm{mm}$$, os discos são feitos de aço (calor específico de $$0,100 \;\rm{cal/g^{\circ}C}$$) e cada um tem uma massa de $$150 \;\rm{g}$$. Desconsidere a ação das demais forças dissipativas. A massa do conjunto ciclista-bicicleta é $$80 \;\rm{kg}$$.
(a) Considere que $$60%$$ da energia mecânica dissipada durante a descida seja convertida em calor transferido aos discos (os $$40%$$ restantes são transferidos para o ambiente, pelo vento, radiação, etc). Qual a variação da temperatura dos discos em $$^{\circ}\rm{C}$$?
(b) Considere que o freio á aplicado nas duas rodas de maneira uniforme em toda a descida. Qual a intensidade de $$F$$ em $$\rm{N}$$?
[spoiler title=’Assunto’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Calor, trabalho e energia
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) A energia dissipada corresponde apenas à energia potencial perdida, já que a cinética permanece constante. Veja:
\[Q=MgH\]
Então, para aquecer os dois discos de massa $$150 \rm{g}$$ cada temos:
\[2mc\Delta T=0,6MgH\implies \Delta T=\frac{0,3MgH}{mc}\]
Resultando em:
\[\boxed{\Delta T \approx 34,3^{\circ}\text{C}}\]
(b) O responsável por dissipar energia nesse caso é o torque da força de resistência; O trabalho do torque é:
\[\Delta E=\tau\Delta\theta\]
A variação de energia é $$\Delta E=mgH$$. O $$\Delta\theta$$ é encontrado número de voltas dado pela roda, veja:
\[\Delta\theta=2\pi\times\frac{\sqrt{L^2+H^2}}{\pi D}\]
Igualando o trabalho do atrito à variação de energia, temos (o 2 vem devido o fato de existirem dois freios):
\[2FR\times 2\pi\times\frac{\sqrt{L^2+H^2}}{\pi D}=MgH\]
Encontramos portanto:
\[F=\frac{1}{4}\frac{MgHD}{R\sqrt{L^2+H^2}}\]
Numericamente:
\[\boxed{F = 1050\;\text{N}}\]
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{\Delta T \approx 34,3^{\circ}\text{C}}$$
b)
\[\boxed{F=1050\;\text{N}}\]
[/spoiler]
Questão 7
Um pequeno peixe se lança com velocidade $$\vec v_0$$ do alto da crista de uma onda em direção à crista da onda à frente, conforme mostra a figura. As ondas têm velocidade de $$3,00 \;\rm{m/s}$$ e frequência de $$2,00 \;\rm{Hz}$$. A velocidade $$\vec v_0$$ forma um ângulo $$\theta=15^{\circ}$$ com a horizontal. Considere apenas o movimento do centro de massa do peixe e despreze a resistência do ar.
(a) Qual a distância entre as cristas das ondas, em $$\rm{m}$$;
(b) Qual o módulo velocidade com que o peixe emerge da crista $$v_0$$, em $$\rm{m/s}$$?
[spoiler title=’Assunto’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Ondulatória
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) Pela relação fundamental da ondulatória, temos:
\[v=\lambda f\implies \boxed{\lambda=1,5\text{m}}\]
(b) Como o peixe pula em direção à outra crista seu alcance horizontal é o próprio $$\lambda$$ (pela definição). Então, temos que:
\[\lambda=\frac{v_0^2\sin{2\theta}}{g}\]
Então temos que:
\[v_0=\sqrt{\frac{\lambda g}{\sin(2\theta)}}\]
Portanto encontramos que:
$$v_0 = \sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{5}\;\rm{m/s} \approx 1,4\cdot 1,7\cdot 2,2\;\rm{m/s}$$
\[\boxed{v_0\approx 5,24\text{m/s}}\]
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a)
\[\boxed{\lambda=1,5\text{m}}\]
(b)
\[\boxed{v_0\approx 5,24\text{m/s}}\]
[/spoiler]
Questão 8
Um proprietário rural cava uma cisterna em sua residência e utiliza uma bomba periférica para elevar a água coletada a uma altura de $$20 \;\rm{m}$$ em relação à superfície da água na cisterna. Para transportar a água ele usa uma mangueira cilíndrica de área de seção transversal $$3,00 \;\rm{cm^2}$$. O gráfico abaixo mostra como varia a pressão manométrica em função da vazão da água na saída da tubulação para diferentes modelos de bomba. O proprietário instalou o modelo
de bomba $$CV30$$.
(a) Qual a potência mínima da bomba, em $$\rm{W}$$?
(b) Qual a velocidade da água na mangueira, em $$\rm{m/s}$$?
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Energia[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) Pelo gráfico, é possível achar a vazão da bomba $$CV30$$ para uma altura de $$20$$ metros:
$$Q = 2000\;\rm{L/h}$$
A potência pode ser achada como a energia adicionada à água por segundo. Como a vazão é o volume por segundo, podemos achar a potencia por:
$$P = \rho g Q h$$
Em unidades do SI:
$$\boxed{P = 111\;\rm{W}}$$
(b) A vazão pode ser calculada como o produto da velocidade vezes a área transversal, então:
$$v = Q/A$$
Portanto:
$$\boxed{v = 1,85\;\rm{m/s}}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{P = 111\;\rm{W}}$$
b)
$$\boxed{v = 1,85\;\rm{m/s}}$$
[/spoiler]