Escrito por Antonio Gama
Iniciante
a) No Brasil, o título é indexado ao IPCA com um retorno de \( IPCA + 6\% \). Isso significa que o título combina uma parte fixa ( 6% ) com uma parte variável ( IPCA, índice de inflação ). Esse tipo de título é classificado como um título híbrido, pois inclui componentes pré-fixados ( os 6% ) e pós-fixados ( o IPCA ).
b) Quem compra esse título no Brasil está apostando em uma inflação baixa. Isso ocorre porque, quanto menor for a inflação, maior será o retorno real. O retorno real pode ser calculado pela fórmula:
$$ \frac{1 + i + 0,06}{1 + i} = 1 + \frac{0,06}{1 + i} $$
Portanto, uma inflação menor maximiza o retorno real sobre o título.
a) No Azerbaijão, o título tem o retorno de \( CPI^2 + 2CPI \), onde CPI é o índice de inflação do país. Como o rendimento do título depende unicamente da inflação, o título é pós-fixado, já que não há uma parte fixa no retorno.
b) Quem compra esse título no Azerbaijão está apostando em uma inflação alta. Como o retorno aumenta exponencialmente com a inflação, o investidor tem um incentivo a buscar cenários de inflação elevada. O retorno real é dado pela fórmula:
$$ \frac{1 + i^2 + 2i}{1 + i} = \frac{(1 + i)^2}{1 + i} = 1 + i $$
Isso significa que o retorno total é proporcional ao nível da inflação, beneficiando aqueles que esperam uma inflação maior.
Intermediária
a) Sabemos que, em uma economia fechada, a condição de equilíbrio é:
$$ Y = C + G + I $$
Onde \( I = 300 \) e \( C = 200 + 0,8Y_l \), com \( Y_l = (1 – t)Y \). Como o governo mantém o déficit primário igual a zero, temos \( G = tY \), e sabemos que \( G = 400 \) inicialmente.
Podemos usar essa informação para determinar a alíquota \( t \):
$$ G = tY \implies 400 = tY $$
Logo:
$$ t = \frac{400}{Y} $$
Substituímos isso em \( Y_l = (1 – t)Y \):
$$ Y_l = (1 – \frac{400}{Y})Y = Y – 400 $$
Agora, substituímos \( Y_l \) na função de consumo \( C \):
$$ C = 200 + 0,8(Y – 400) = 200 + 0,8Y – 320 $$
$$ C = 0,8Y – 120 $$
Substituímos \( C \), \( G \), e \( I \) na equação de equilíbrio \( Y = C + G + I \):
$$ Y = (0,8Y – 120) + 400 + 300 $$
Simplificando:
$$ Y = 0,8Y + 580 $$
Rearranjamos para isolar \( Y \):
$$ Y – 0,8Y = 580 $$
$$ 0,2Y = 580 $$
$$ Y = \frac{580}{0,2} = 2900 $$
Portanto, o nível de equilíbrio da renda \( Y \) é 2900.
b) Agora, o governo aumenta os gastos públicos para \( G = 500 \). Sabemos que \( G = tY \) para manter o déficit primário igual a zero. Então, com \( G = 500 \), temos:
$$ 500 = tY $$
Logo, a nova alíquota de imposto \( t \) é:
$$ t = \frac{500}{Y} $$
Substituímos \( t = \frac{500}{Y} \) em \( Y_l = (1 – t)Y \):
$$ Y_l = (1 – \frac{500}{Y})Y = Y – 500 $$
Agora, substituímos \( Y_l \) na função de consumo \( C \):
$$ C = 200 + 0,8(Y – 500) = 200 + 0,8Y – 400 $$
$$ C = 0,8Y – 200 $$
Substituímos \( C \), \( G \), e \( I \) na equação de equilíbrio \( Y = C + G + I \):
$$ Y = (0,8Y – 200) + 500 + 300 $$
Simplificando:
$$ Y = 0,8Y + 600 $$
Rearranjamos para isolar \( Y \):
$$ Y – 0,8Y = 600 $$
$$ 0,2Y = 600 $$
$$ Y = \frac{600}{0,2} = 3000 $$
Portanto, o novo nível de equilíbrio da renda \( Y \) é 3000. A diferença no PIB de equilíbrio após o aumento dos gastos públicos é:
$$ 3000 – 2900 = 100 $$
Logo, a diferença no PIB é de 100 unidades.
Avançada
a) Utilizando a equação de Euler:
$$ C_{t+1} = C_t \left( \frac{\beta (1 + r)}{1 + \tau} \right)^{\frac{1}{\sigma}} $$
Sabemos que \( C_0 = 100 \), \( \beta = 0,99 \), \( r = 0,05 \), \( \tau = 0,2 \), e \( \sigma = 2 \). Substituindo esses valores:
$$ C_1 = 100 \left( \frac{0,99(1 + 0,05)}{1 + 0,2} \right)^{\frac{1}{2}} $$
Calculamos a expressão dentro dos parênteses:
$$ \frac{0,99 \times 1,05}{1,2} = \frac{1,0395}{1,2} \approx 0,86625 $$
Agora, tirando a raiz quadrada:
$$ C_1 = 100 \times (0,86625)^{\frac{1}{2}} \approx 100 \times 0,9307 = 93,07 $$
Portanto, o consumo no próximo período será aproximadamente \( C_1 = 93 \) unidades.
b) Agora, com a taxa de juros subsidiada \( r_s = 0,03 \), a equação de Euler é:
$$ C_1 = 100 \left( \frac{0,99(1 + 0,03)}{1 + 0,2} \right)^{\frac{1}{2}} $$
Calculamos a expressão dentro dos parênteses:
$$ \frac{0,99 \times 1,03}{1,2} = \frac{1,0197}{1,2} \approx 0,84975 $$
Agora, tirando a raiz quadrada:
$$ C_1 = 100 \times (0,84975)^{\frac{1}{2}} \approx 100 \times 0,9218 = 92,18 $$
Com a taxa subsidiada, o consumo \( C_1 \) será aproximadamente 92 unidades. Comparado ao valor anterior de 93, a política de subsídio de juros tem um impacto limitado, e o consumo diminui levemente. Portanto, essa política não é eficaz para mitigar os efeitos dos impostos mais altos.
c) Se o imposto aumenta para \( \tau = 0,5 \) no segundo período, temos:
$$ C_2 = C_1 \left( \frac{0,99(1 + 0,05)}{1 + 0,5} \right)^{\frac{1}{2}} $$
Com \( C_1 = 93,07 \):
$$ C_2 = 93,07 \left( \frac{0,99 \times 1,05}{1,5} \right)^{\frac{1}{2}} $$
Calculamos a expressão:
$$ \frac{0,99 \times 1,05}{1,5} = \frac{1,0395}{1,5} \approx 0,693 $$
Agora, tiramos a raiz quadrada:
$$ C_2 = 93,07 \times (0,693)^{\frac{1}{2}} \approx 93,07 \times 0,8324 = 77,43 $$
Portanto, o consumo no segundo período será aproximadamente \( C_2 = 77 \) unidades.
d) Para que o consumo intertemporal permaneça estável, usamos a equação:
$$ \frac{\beta (1 + r)}{1 + \tau} = 1 $$
Resolvendo para \( \tau \):
$$ \tau = \beta (1 + r) – 1 $$
Substituímos \( \beta = 0,99 \) e \( r = 0,05 \):
$$ \tau = 0,99(1 + 0,05) – 1 = 0,99 \times 1,05 – 1 = 1,0395 – 1 = 0,0395 $$
Portanto, o imposto \( \tau \) necessário para manter o consumo estável é de aproximadamente 4\%.