Escrito por Luís Fernando
Iniciante
Pulsar do Caranguejo
O Catálogo Messier é um dos mais famosos catálogos astronômicos existentes. O primeiro objeto registrado por Charles Messier, seu criador, foi a Nebulosa do Caranguejo (M1). Esse objeto corresponde a um remanescente de supernova – resultado da explosão catastrófica de uma estrela massiva observada no ano 1054. No centro da nebulosa, encontra-se o Pulsar do Caranguejo, uma estrela extremamente compacta com raio $$R = 10\,\text{km}$$ e massa $$M = 2{,}8 \times 10^{30}\,\text{kg}$$.
Uma curiosidade interessante desse pulsar é que, diferentemente de estrelas convencionais, grande parte de sua luminosidade origina-se da perda de energia de rotação (a qual se transforma em radiação eletromagnética), e não de fusões nucleares. Com base nisso, e sabendo que o pulsar completa uma rotação em torno de seu próprio eixo a cada incríveis $$P = 33{,}5\,\text{milisegundos}$$ ($$3{,}35 \times 10^{-2}\,\text{s}$$), com um aumento diário de período de $$\Delta P = 36\,\text{nanossegundos}$$ ($$3{,}6 \times 10^{-8}\,\text{s}$$), estime a luminosidade do Pulsar do Caranguejo.
Dados: A expressão matemática para a energia rotacional de uma esfera homogênea de raio R, massa M e período rotacional P é:
\[E_{Rot}=\frac{4 \pi^2 MR^2}{5 P^2}\]
Intermediário
Somewhere Over the Multiverse
Em 1929, Edwin Hubble descobriu que as galáxias estão se afastando umas das outras, revelando que o universo está em expansão. Ele estabeleceu que a velocidade de afastamento (v) é proporcional à distância (d), com $$H_0$$ (constante de Hubble) relacionando as duas grandezas. Com base nisso, a Lei de Hubble pode ser escrita da seguinte forma:
\[v = H_0d\]
A partir dessa expressão, e considerando que $$H_0$$ não mude com o tempo, podemos obter uma outra fórmula, que relaciona a distância inicial ($$d_0$$) e a distância final ($$d$$) – após a expansão – entre dois objetos, além do intervalo de tempo ($$\Delta t$$) entre esses dois instantes:
\[d=d_0 \cdot e^{H_0 \Delta t}\]
A expansão do universo em si é um assunto complexo, mas podemos imaginá-la geometricamente considerando um espaço plano que se “estica” com o tempo.
Agora, imagine um universo alternativo, em que a Lei de Hubble continua sendo válida, mas com $$H_0$$ tendo um valor diferente do convencional. A seguir, temos duas imagens: a primeira representa duas galáxias em uma grade em um determinado instante de tempo, e a outra representa as mesmas galáxias mas após uma certa expansão do universo. O intervalo de tempo entre as duas situações é $$\Delta t = 5\,$$bilhões de anos. Ambas as imagens estão em uma mesma escala, em que um quadrado representa $$100\,\text{Mpc}$$.
Com base no que foi dito, estime o valor da constante de Hubble deste universo (em km/s/Mpc) e calcule qual será a velocidade de afastamento $$v$$ entre as galáxias (em km/s) $$2{,}5$$ bilhões de anos após o instante da figura à direita .
Dados: Pode ser útil saber que $$1\,\text{km/s/Mpc}\approx 3{,}24 \cdot 10^{-20}\,\text{s}^{-1}$$
Avançado
Satélite em Órbita Polar
Os satélites em órbita polar são uma categoria especial de satélites artificiais que percorrem uma trajetória próxima aos polos da Terra, permitindo uma cobertura global e detalhada do planeta.
Em determinado momento, o cientista Jurgão, em sua visita anual ao Polo Norte, avista um satélite em órbita polar, e percebe que o mesmo se move perpendicularmente ao Equador Celeste. Sabendo que o satélite possui formato esférico com raio $$R=1 \,\text{m}$$ e que, no momento da observação, o objeto estava a uma altura $$h=30^\circ$$ e com um raio angular $$\phi = 0.015″$$, ajude Jurgão a descobrir o tempo que esse satélite levará para alcançar o zênite, considerando que a órbita é circular.
Dados: Raio da Terra: $$R_T = 6378\,\text{km}$$
Internacional
O Satélite do Tio Klafkar
O grande astrônomo Klafkar, com o objetivo de mapear por completo a órbita de um satélite (isto é, obter todos os seus principais elementos orbitais), mediu, em um curto intervalo de tempo, os seguintes vetores posição:
- $$\vec{r_1} = -6094{,}0 \hat{x} +19457{,}0 \hat{y} +12189{,}0 \hat{z} \;\; (\text{km})$$
- $$\vec{r_2} = -6097{,}8 \hat{x} + 19458{,}0 \hat{y} + 12196{,}7 \hat{z} \;\; (\text{km})$$
Ele, no entanto, pensou que tais dados não seriam o suficiente para cumprir sua missão. O seu objetivo nessa questão é mostrar que ele está errado.
Parte I: Ferramentário
De início, é importante obtermos expressões matemáticas para o cálculo dos elementos orbitais. Para isso, considere um sistema de coordenadas cartesiano de mão direita com o eixo x apontando para o ponto Vernal e o eixo z apontando para o Polo Celeste Norte.
Importante: Todos os itens a seguir utilizam vetores. Para resolvê-los, pense: qual vetor conhecido posso obter a partir dos dados fornecidos? como posso utilizar as propriedades das operações vetoriais para obter tais elementos?
a) Obtenha uma expressão para a inclinação da órbita (i).
b) Obtenha um novo vetor que aponte para a direção da linha dos nodos da órbita, no sentido do nodo ascendente. Chame-o de $$\vec{N}$$ (vetor nodal).
c) Obtenha, partindo do resultado do item anterior, uma expressão para a longitude do nodo ascendente ($$\Omega$$).
Agora, para continuarmos, podemos utilizar um interessante resultado da Mecânica Celeste. Partindo de uma grandeza conservada em órbitas keplerianas (o chamado Vetor Laplace-Runge-Lenz), podemos obter o vetor excentricidade, dado pela seguinte expressão:
\[\vec{e} = \frac{\vec{v} \times \vec{h}}{GM_{\oplus}} – \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\]
Tal vetor tem módulo igual à excentricidade orbital e aponta para o periastro da órbita.
d) Obtenha uma expressão para o argumento do periastro ($$\omega$$).
Parte II: Mapeando o Satélite
Por fim, podemos partir para o nosso objetivo. Considere, para isso, que o intervalo de tempo entre as medições dos vetores posição foi de $$\Delta t = 2\,\text{s}$$.
e) Calcule o semi-eixo maior, a excentricidade e o período da órbita.
f) Calcule a inclinação e a longitude do nodo ascendente.
g) Calcule, por fim, o argumento do perigeu.
h) Com base nos valores obtidos, responda: dentre China, Rússia, Japão e Índia, qual o mais provável país de origem desse satélite?