Escrito por Davi Lucas
Iniciante
A Régua Cósmica
Como dito no enunciado, desconsideraremos as interações gravitacionais. Portanto, mesmo que a Galáxia de Andrômeda esteja, na realidade, se aproximando devido à sua pequena distância até nós, considerando apenas a expansão do universo ela está se afastando de acordo com a lei de Hubble.
Substituindo \(H_0 = 72 \,\mathrm{\frac{km}{s \cdot Mpc}}\) e \(d = 0{,}78\,\mathrm{Mpc}\), temos:\[ v = H_0 \cdot d = 72 \,\rm{\frac{km}{s \cdot Mpc}} \cdot 0,78 \rm{Mpc} \]
\[ \boxed{v = + 56,16 \rm{km/s}}\]
Intermediário
Rebobinando o Big Bang
O ponto de partida para estimar a idade do universo, neste modelo, é a premissa de que a força resultante (\(F_r)\) sobre os pontos que se afastam é nula. Pela Segunda Lei de Newton, \(F_r = ma\), se a força é zero, a aceleração \(a\) também é zero. Isso implica que a velocidade de afastamento \(v\) entre quaisquer dois pontos do universo, devido apenas à expansão, pode ser considerada constante ao longo do tempo.
Com uma velocidade constante, podemos usar a relação fundamental da cinemática que diz que o tempo \(t\) é a razão entre a distância \(d\) e a velocidade \(v\). Assim, o tempo decorrido desde que esses pontos estavam juntos na singularidade seria:
\[ t = \frac{d}{v} \]
Aqui entra a genialidade da Lei de Hubble, que nos dá a velocidade de expansão: \(v = H_0 d\). Substituindo esta lei na nossa equação de tempo, a distância \(d\) elegantemente se cancela:
\[ t = \frac{d}{H_0 d} = \frac{1}{H_0} \]
Encontramos, portanto, que a idade do universo neste modelo, conhecida como Tempo de Hubble \(t_H\), é simplesmente o inverso da constante de Hubble.
Agora, vamos ao cálculo. Para encontrar o valor de \(t_H\), precisamos de \(H_0\) em unidades de \(\text{s}^{-1}\). Usando \(H_0 \approx 72 \, \text{km/s/Mpc}\) e sabendo que \(1 \, \text{Mpc} = 10^6 \cdot 206265 \cdot 1.5 \cdot 10^{8} \rm{km} \approx 3,086 \times 10^{19} \, \text{km}\), convertemos diretamente: \[ H_0 \approx \frac{72 \, \text{km/s}}{3,086 \times 10^{19} \, \text{km}} \approx 2,333 \times 10^{-18} \, \text{s}^{-1} \]
Com a constante de Hubble em unidades de \(\text{s}^{-1}\), podemos finalmente calcular o Tempo de Hubble:
\[ t_H = \frac{1}{H_0} \approx \frac{1}{2,333 \times 10^{-18} \, \text{s}^{-1}} \approx 4,286 \times 10^{17} \, \text{s} \]
O último passo é converter este valor em segundos para bilhões de anos, utilizando \(1 \, \text{ano} = 365 \cdot 24 \cdot 3600 \rm{s} \approx 3,154 \times 10^7 \, \text{s}\):
\[ t_H (\text{anos}) = \frac{4,286 \times 10^{17} \, \text{s}}{3,154 \times 10^7 \, \text{s/ano}} \approx 1,359 \times 10^{10} \, \text{anos} \]
\[ \boxed{t_H \approx 13,6 \text{ bilhoes de anos}} \]
Avançado
A assinatura do Quasar
Analisando o gráfico, temos que \( \lambda \approx 7344 \, \mathring{A}\):
Logo, temos que o redshift é:
\[z = \frac{\lambda}{\lambda_{lab}} - 1 = \frac{7344}{1216} - 1 \approx 5,04\]
\[ z = \sqrt{\frac{1+ \frac{v}{c}}{1 – \frac{v}{c}}} – 1 \] \[ z + 1 = \sqrt{\frac{1+ \frac{v}{c}}{1 – \frac{v}{c}}} \] \[ (z+1)^2 = \frac{1+ \frac{v}{c}}{1 – \frac{v}{c}}\] \[ \left(1 – \frac{v}{c}\right)(z+1)^2 = 1 + \frac{v}{c}\]\[(z+1)^2 – \frac{v}{c}(z+1)^2 = 1 + \frac{v}{c}\]
\[(z+1)^2 – 1 = \frac{v}{c} \left[(z+1)^2 + 1\right] \] \[ \frac{v}{c} = \frac{(z+1)^2 – 1}{(z+1)^2 + 1}\]\[v = \frac{(z+1)^2 – 1}{(z+1)^2 + 1} \cdot c\]
Pela lei de Hubble \( v = H_0 d\), logo:
\[ v = v \rightarrow \frac{(z+1)^2 – 1}{(z+1)^2 + 1} \cdot c = H_0 d\]
\[d = \frac{c}{H_0} \cdot \frac{(z+1)^2 – 1}{(z+1)^2 + 1}\]
Substituindo os valores:
\[d = \frac{3 \cdot 10^5 \,\rm{km/s}}{72 \,\rm{\frac{km}{s \cdot Mpc}}} \cdot \frac{(5,04+1)^2 – 1}{(5,04+1)^2 + 1}\]
\[\boxed{d \approx 3945 \, \rm{Mpc}}\]
Internacional
Disputa desfocada
Parte A – Redshift do Efeito Doppler
a) O esquema esperado se assemelha ao apresentado a seguir. Nele, Fonte 1 representa a posição da fonte no instante da primeira emissão, e Fonte 2, sua posição no instante da segunda emissão, separados por um intervalo de tempo \(T\).
Note que a diferença entre os comprimentos de onda observados se deve ao fato de que o movimento da fonte altera a distância entre os frentes de onda sucessivos — ou seja, as ondas emitidas estão mais espaçadas (ou comprimidas se a velocidade for negativa) do que estariam se a fonte estivesse em repouso:
b) Como o intervalo de tempo \(T_0\) foi medido no referencial da fonte, denotemos \(T\) como sendo o período no referencial terrestre (isto é, o tempo entre duas emissões consecutivas observadas no laboratório), a Teoria da Relatividade Restrita nos dá a relação:
\[ T = \gamma T_0 \quad , \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}} \]
Portanto, pelo esquema podemos escrever que:
\[ \lambda = (c+v) \,T \rightarrow \boxed{ \lambda= (c+v) \gamma T_0}\]
\[ \boxed{\lambda_0 = c \,T_0}\]
c) Como dito na dica do enunciado,
\[z = \frac{\lambda – \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{\lambda}{\lambda_0} -1\]
Portanto começaremos encontrando a razão \(\frac{\lambda}{\lambda_0}\) de acordo com os resultados do item anterior:
\[z = \frac{(c+v) \gamma T_0}{cT_0} – 1 = \frac{(c+v)\gamma}{c} – 1\]
Substituindo \(\gamma \):
\[ z = \frac{(c+v)}{c \left(\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}\right)} – 1\]
\[ z = \frac{(c+v)c}{c \sqrt{c^2 – v^2}} – 1\]
\[ z = \frac{(c+v)}{ \sqrt{(c-v)(c+v)}} – 1\]
\[ z = \sqrt{\frac{(c+v)}{(c-v)}} – 1\]
\[ z = \sqrt{\frac{c(1+\frac{v}{c})}{c(1-\frac{v}{c})}} – 1\]
\[ \boxed{z = \sqrt{\frac{(1+\beta)}{(1-\beta)}} – 1}\]
Parte B – Redshift Cosmológico
d)
Pela equação dada, temos que:
\[ r_0 = \frac{r(t)}{a(t)}\]
Além disso, diferenciando a equação, temos:
\[ \dot r(t) = \dot a(t) r_0\]
\[ v(t) = \dot a(t) r_0\]
Substituindo \(r_0\):
\[ v(t) = r(t) \frac{\dot a(t)}{a(t)}\]
Usando a definição do paramêtro de Hubble:
\[ v(t) = H(t) r(t)\]
Analisando no tempo atual:
\[ \boxed{v = H_0 r_0}\]
e) Utilizando da lei de Hubble, para saber em qual distância uma galáxia tem uma “velocidade” de 1000 km/s pela expansão do espaço:
\[ v = H_0 r_0\]
\[ 1000 \, \rm{km/s} = 72 \,\rm{km/s \cdot Mpc} \,r_0\]
\[ \boxed{r_0 \approx 13,89 \, \rm{Mpc}}\]
Logo, galáxias localizadas a distâncias iguais ou superiores a \(13,89 \, \rm{Mpc}\) têm, em geral, seu redshift dominado pela expansão do universo. Isso ocorre porque, a partir dessa distância, a velocidade de recessão prevista pela Lei de Hubble supera a velocidade peculiar média das galáxias.
f) Visto que analisaremos apenas infinitesimais da trajetória, diferenciemos as equações dadas no enunciado:
\[ dv = dz \cdot c\]
\[ dv = \frac{d\lambda}{\lambda} \cdot c\]
Diferenciando a lei de Hubble:
\[ dv = H_0 dx\]
Como \(dv = dv\):
\[ H_0 \frac{dx}{c} = \frac{d\lambda}{\lambda}\]
Como \(c = \frac{dx}{dt}\):
\[H_0 \, dt = \frac{d\lambda}{\lambda}\]
\[\frac{\dot{a}}{a} \, dt = \frac{d\lambda}{\lambda}\]
Integrando:
\[ \int_{a_e}^{a_0} \frac{da}{a} = \int_{\lambda_e}^{\lambda_0} \frac{d\lambda}{\lambda} \]
\[\boxed{z + 1 = \frac{\lambda_0}{\lambda_e} = \frac{a_0}{a_e}} \]
Parte C – Redshift Gravitacional
g)
A equação de Einstein diz \[ E = mc^2\]
Enquanto a energia de um fóton é \[ E = hf\]
Portanto a massa equivalente é:
\[ mc^2 = hf \]
\[ \boxed{m= \frac{hf}{c^2}} \]
h) Quando o fóton é exposto a um campo gravitacional, sua energia sofre uma variação que compensa a variação da energia potencial gravitacional, de modo a conservar a energia total. Portanto, as variações nas duas energias se anulam:
\[ \Delta (hf) + m \Delta U = 0\]
Utilizando a equivalência massa-energia \( m = \frac{hf}{c^2} \):
\[\Delta (hf) + \frac{hf}{c^2} \Delta U = 0\]
Isolando a razão entre a variação da frequência e a frequência:
\[ \frac{\Delta f}{f} = – \frac{\Delta U}{c^2}\]
Diferenciando a equação fundamental da ondulatória, encontramos a relação entre \(\frac{\Delta f}{f}\) e \(\frac{\Delta \lambda}{\lambda}\):
\[f = \frac{c}{\lambda} \Rightarrow df = -\frac{c}{\lambda^2} \, d\lambda \Rightarrow \frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{df \cdot \lambda}{c} = -\frac{df}{f}\]
Portanto, o redshift pode ser escrito como:
\[z = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} = – \frac{\Delta f}{f} = \frac{\Delta U}{c^2}\]
Considerando a conservação da energia entre a situação atual — com frequência \( f \) a uma distância \( R \) do buraco negro de massa \( M \) — e o fóton no infinito:
\[ \Delta U = U(\infty) – U(R) = 0 – \left(-\frac{GM}{R}\right) = \frac{GM}{R}\]
Portanto:
\[\boxed{z = \frac{GM}{Rc^2}}\]
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