Escrito por Franklin Costa
Iniciante
La soberba
Podemos usar a relação clássica entre a paralaxe trigonométrica ($$p$$) e a distancia ($$d$$) até uma estrela:
\[d[pc]=\frac{1}{p[”]}\Rightarrow p[”]=\frac{1}{d[pc]}\]
Convertendo as unidades de $$d$$ para parsec, chegamos que $$d \approx 52{,}15 pc$$. Aplicando esse valor na expressão para paralaxe, obtemos $$\boxed{p \approx 0{,}019”}$$.
Intermediário
El Ratón
Como as situações possuem condições de observação iguais, com exceção do formato observado da Lua, tendo em vista isso é possível utilizar que, para as duas medições de magnitude, o fluxo observado é proporcional a área lunar. Por Pogson, podemos calcular que:
\[ \Delta m=-2{,}5 \cdot \log\left(\frac{F_{depois}}{F_{antes}}\right) \Rightarrow \Delta m=-2{,}5 \cdot \log\left(\frac{A_{depois}}{A_{antes}}\right) \]
Pela figura, podemos perceber que o raio da mordida é metade do raio lunar; por seguinte a área da mordida é um quarto da área da Lua. Logo:
\[\frac{A_{depois}}{A_{antes}}=\frac{3}{4} \Rightarrow \Delta m=-2{,}5 \cdot \log\left(\frac{3}{4}\right)\Rightarrow \boxed{\Delta m\approx 0{,}31}\]
Avançado
Quadratura
Pelo enunciado, temos que o período sinódico $$T_{sin}=106\ dias$$. O mesmo pode ser expresso em função das velocidades angulares $$\omega_M$$ e $$\omega_\oplus$$ de Marte e da Terra, respectivamente, pela seguinte relação:
\[\frac{2\pi}{T_{sin}}=\omega_\oplus-\omega_M\]
Visualizando a geometria do problema, chegamos na seguinte visualização:
Como as orbitas são circulares, podemos calcular $$\alpha=\omega_\oplus \cdot t$$ e $$\beta=\omega_M \cdot t$$, onde $$t$$ é o tempo entre a quadratura oeste e a oposição. Sendo assim:
\[\gamma := \alpha -\beta= \left(\omega_\oplus-\omega_M \right)\cdot t \Rightarrow \gamma=\frac{2\pi}{T_{sin}}\cdot t\]
Por trigonometria, encontramos que:
\[\sin\gamma=\frac{a_T}{a_M}\Rightarrow a_M=\frac{a_T}{\sin\gamma}\]
Sendo assim, basta realizar todas as contas necessárias e, agora, você e Ocihc, mesmo sem nenhuma lei de Kepler e medidas que qualquer um poderia obter, podem afirmar que $$\boxed{a_M\approx1{,}52\ U.A.}$$.
Internacional
Um pouco arrastado
Esta questão tem como objetivo introduzir um método geral para a resolução de problemas envolvendo perturbações orbitais. O principal ponto desse método é destacar a importância da análise do que ocorre com as constantes de movimento de uma órbita quando uma força perturbativa é introduzida.
Vamos aos cálculos:
Suponha uma partícula de massa $$m$$ que está sobre uma força $$\vec{F}$$ que tem o seguinte perfil:
\[\vec{F}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{r}+\delta f=F_g+\delta f\]
onde $$\left|\delta f\right|\ll \left|F_g\right|$$, ou seja, estamos no limite perturbativo. Vamos analisar o que acontece com o vetor momento angular $$\vec{L}$$, vetor de Laplace-Ruge-Lenz $$\vec{A}$$ e energia mecânica $$E_m$$.
1. Vetor momento angular:
\[\vec{L}:=\vec{r}\times\vec{p}\Rightarrow \frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d\vec{r}}{dt}\times \vec{p}+\vec{r}\times \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{v}\times \vec{p}+\vec{r}\times\vec{F}\Rightarrow\]
\[\boxed{\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{r}\times\vec{\delta f}}\]
2. Vetor LRL:
\[\vec{A}:=\vec{p}\times\vec{L}-GMm^2\hat{r}\Rightarrow \frac{d\vec{A}}{dt}=\frac{d\vec{p}}{dt}\times \vec{L}+\vec{p}\times \frac{d\vec{L}}{dt}-GMm^2\frac{d\hat{r}}{dt}\Rightarrow\]
\[\frac{d\vec{A}}{dt}=\vec{F}\times\vec{L}+\vec{p}\times\left(\vec{r}\times\vec{\delta f}\right)-GMm^2\frac{d\hat{r}}{dt}\Rightarrow\boxed{\frac{d\vec{A}}{dt}=\vec{\delta f}\times\vec{L}+\vec{p}\times\left(\vec{r}\times\vec{\delta f}\right)}\]
3. Energia mecânica:
Pelo teorema trabalho energia
\[dE=\vec{\delta f}\cdot d\vec{r}\Rightarrow \frac{dE}{dt}=\vec{\delta f}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}\Rightarrow\boxed{\frac{dE}{dt}=\vec{\delta f}\cdot \vec{v}}\]
a) Vamos analisar a variação média do vetor LRL:
\[\langle\frac{d\vec{A}}{dt}\rangle=\langle\vec{\delta f}\times\vec{L}\rangle+\langle\vec{p}\times\left(\vec{r}\times\vec{\delta f}\right)\rangle\Rightarrow\]
\[\langle\frac{d\vec{A}}{dt}\rangle=\langle-\alpha v^{n-1} \vec{v}\times\vec{L}\rangle+\langle\vec{p}\times\left[\vec{r}\times\left(-\alpha v^{n-1} \vec{v}\right)\right]\rangle=\langle-2\alpha v^{n-1} \vec{v}\times\vec{L}\rangle\].
Da definição de vetor LRL, podemos escrever
\[\vec{v}\times\vec{L}=\frac{\vec{A}}{m}+GMm\hat{r}\Rightarrow\]
\[\langle\frac{d\vec{A}}{dt}\rangle=-\frac{2\alpha}{m}\langle v^{n-1}\rangle \vec{A}-2\alpha GMm\langle v^{n-1}\hat{r}\rangle\]
onde usamos o fato de que na órbita não perturbada $$\vec{A}$$ permanece constante. Pela simetria polar:
\[\langle v^{n-1}\hat{r}\rangle=\langle v^{n-1}\cos \theta\rangle \hat{x}\]
sendo $$\hat{x}$$ o versor na direção do periélio. Como $$\vec{A}=GMm^2e\ \hat{x}$$, a equação pode ser escrita na forma
\[\boxed{\langle\frac{d\vec{A}}{dt}\rangle=-\frac{2\alpha}{me}\langle v^{n-1}\left(e+\cos \theta \right)\rangle\vec{A}}\]
Concluímos que não há cumulativa do períelio, pois $$\langle\frac{d\vec{A}}{dt}\rangle$$ é proprocional a $$\vec{A}$$.
b) A partir da equação anterior e a relação $$\vec{A}=GMm^2e\ \hat{x}$$
\[\langle \frac{de}{dt} \rangle=-\frac{2\alpha}{m}\langle v^{n-1}\left(e+\cos \theta \right)\rangle\]
Logo $$\boxed{\lambda=-\frac{2\alpha}{m}}$$.
c) Para $$n=1$$, a equação obtida para a variação da excentricidade se reduz a
\[\langle \frac{de}{dt} \rangle=-\frac{2\alpha}{m}\left(e+\langle\cos \theta\rangle\right)\]
Podemos calcular a média de $$\cos \theta$$ como
\[\langle\cos \theta\rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \cos \theta \, dt=\frac{p^2}{Th}\int_{0}^{2 \pi}\frac{\cos \theta}{\left(1+e\cos\theta \right)^2}\,d\theta\]
onde $$p=a(1-e^2)$$. Resolvendo a integral e expressando $$h$$, $$p$$ e $$T$$ em função de $$a$$ e $$e$$, concluímos que
\[\langle\cos \theta\rangle=-e\Rightarrow \langle \frac{de}{dt} \rangle=0\]
Sendo assim, a excentricidade da órbita permanece constante.
d) Usando a expressão desenvolvida para a variação média do momento angular
\[\langle\frac{d\vec{L}}{dt}\rangle=\langle-\alpha v^{n-1}\vec{r}\times\vec{v}\rangle=-\frac{\alpha}{m}\langle v^{n-1}\rangle\vec{L}\Rightarrow\boxed{\langle\frac{d\vec{h}}{dt}\rangle=-\frac{\alpha}{m}\langle v^{n-1}\rangle\vec{h}}\]
Analogamente ao item a), como $$\langle\frac{d\vec{h}}{dt}\rangle$$ é proprocional a $$\vec{h}$$, não existirá movimento cumulativo no nó ascendente e nem na inclinação orbital.
e) Sabemos que para uma órbita elíptica $$E_m=-\frac{GMm}{2a}$$, utilizando esse dado na equação obtida para a variação da energia mecânica
\[\langle\frac{GMm}{2a^2} \frac{da}{dt} \rangle=\langle-\alpha v^{n-1} \vec{v}\cdot \vec{v}\rangle\Rightarrow \boxed{\langle \frac{da}{dt} \rangle=-\frac{2\alpha}{\mu m} a^2\langle v^{n+1}\rangle}\]
f) Aplicando as relações clássicas $$r=\frac{p}{1+e\cos\theta}$$ e $$v^2=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$$
\[v^2=\frac{\mu}{p}\left(1+2e\cos\theta+e^2\right)\Rightarrow\langle \frac{da}{dt} \rangle=-\frac{2\alpha}{\mu m} \left(\frac{\mu}{p}\right)^{\frac{n+1}{2}}a^2\langle \left(1+2e\cos\theta+e^2\right)^{\frac{n+1}{2}} \rangle\]
Calculando essa média de maneira semelhante ao item c)
\[M=\langle \left(1+2e\cos\theta+e^2\right)^{\frac{n+1}{2}} \rangle=\frac{p^2}{Th}\int_{0}^{2 \pi}\frac{\left(1+2e\cos\theta+e^2\right)^{\frac{n+1}{2}} }{\left(1+e\cos\theta \right)^2}\,d\theta\]
Aplicando o limite $$e\ll 1$$, podemos expandir o integrando numa série de Taylor até primeira ordem em $$e$$. Sendo assim
\[M=\frac{p^2}{Th}\int_{0}^{2 \pi}\left(1+\left(n-1\right)e\cos\theta\right)\,d\theta=\frac{p^2}{h}\frac{2\pi}{T}\]
Devolvendo esse resultado na relação inicial e expressando todas as variáveis em função de $$a$$, obtemos a seguinte equação
\[\langle \frac{da}{dt} +\frac{2\alpha}{m}\mu^{\frac{n-1}{2}}a^{\frac{3-n}{2}}\rangle=0\]
Para fins de estimativa, essa equação pode ser interpretada como
\[\frac{da}{dt} =-\frac{2\alpha}{m}\mu^{\frac{n-1}{2}}a^{\frac{3-n}{2}}\Rightarrow \int_{a_0}^{a}a^{\frac{n-3}{2}}\,da=-\frac{2\alpha}{m}\mu^{\frac{n-1}{2}}\int_{0}^{t}\,dt\Rightarrow\]
\[\boxed{t=\frac{m}{\alpha\left(n-1\right)}\frac{a_0^{\frac{n-1}{2}}-a^{\frac{n-1}{2}}}{\mu^{\frac{n-1}{2}}}\Rightarrow t\approx 6\ \text{anos}}\]
Como dito inicialmente na questão, o valor de $$\alpha$$ está diretamente ligado à densidade local da atmosfera. Quanto mais nos aproximamos da superfície terrestre, mais a atmosfera se torna densa e, consequentemente, $$\alpha$$ aumenta. Portanto, o tempo real seria (bem) menor do o obtido.
f) Além do que já foi dito anteriormente, $$\alpha$$ também depende da geometria e orientação do satélite. Na presença de arrasto, torques internos surgiriam no satélite, os quais mudariam sua orientação com o tempo, novamente produzindo um $$\alpha$$ não constante. Por fim, outra hipótese adotada é que a expressão para a força de arrasto teria essa cara familiar $$\vec{F}=-\alpha\cdot v^{n-1}\cdot\vec{v}$$, o que, infelizmente, não ocorre na realidade tendo em vista a complexidade do modelamento desse tipo de força.
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