Astronomia – Semana 118

Escrito por Franklin Costa

Iniciante

La Soberba

Y Canum Venaticorum é uma estrela muito rara no céu noturno do planeta Terra. Ela também é muito vermelha, exibindo um espectro de luz tão notável que o astrônomo do século XIX Angelo Secchi a apelidou de La Superba. Localizada a $710$ anos-luz de distância na constelação do norte Canes Venatici, a estrela varia em brilho ao longo de um período de cerca de meio ano. Perto do máximo, ela se torna brilhante o suficiente para ser vista a olho nu.

Com os dados fornecidos, calcule o valor da paralaxe trigonométrica de La Soberba em segundos de arco.

Dados: $1\ pc\approx 3{,}26 \ anoz-luz$

Intermediário

El Ratón

Em mais uma noite de Lua cheia, o nosso lunático preferido, El Ratón, fez uma descoberta estonteante: a Lua é, na verdade, feita inteiramente de queijo coalho, seu queijo preferido. Em um surto de epifania, El Ratón decide devorar uma parte da Lua, fazendo com que, vista da Terra, a Lua assuma a geometria descrita pela imagem abaixo:

Representação da Lua na escala de raios lunares

Tendo em vista a situação descrita acima, calcule qual foi a variação da magnitude aparente da Lua cheia ($\Delta m$) observada por alguém sobre a superfície terrestre.

Avançado

Quadratura

Ocich realmente é apaixonado pelo planeta vermelho. Em um certo dia, surgiu-lhe uma pergunta inquietante: qual o raio orbital de Marte? Ocich estava decidido a descobrir essa informação. Ele percebeu que, após a quadratura oeste de Marte, passavam-se $106$ dias até a oposição do pequeno planeta e que o tempo entre duas conjunções seguidas de Marte é de $2{,}14$ anos. Considerando as órbitas da Terra e de Marte circulares e coplanares, ajude o grande apaixonado estimando o raio orbital de Marte em unidades astronômicas.

Observação: Não use as leis de Kepler para resolver esse problema, Ocich não consegue se lembrar delas.

Internacional

Um pouco arrastado

Bibucha é um entusiasta de órbitas excêntricas. Certo dia, ele descobriu sobre as órbitas LEO (Low Earth Orbit) e ficou encantado. Órbitas LEO têm como características uma baixa altitude média e, por consequência, um período orbital consideravelmente pequeno em comparação a outros padrões orbitais, o que as torna ideais para diversas aplicações que necessitam de uma rápida troca de informações; um grande exemplo de objeto em uma órbita LEO é a Estação Espacial Internacional (ISS).

Contudo, a vida não é um morango, e Bibucha percebe que, por estarem situadas em camadas mais internas da atmosfera, as órbitas LEO sofrem uma interferência considerável por conta do arrasto atmosférico. Sendo um apaixonado por generalizações, Bibucha decidiu modelar como essa força de arrasto afeta o movimento orbital de um satélite em uma órbita LEO.

Considere que a força de arrasto gerada pela atmosfera sobre o satélite é da forma:

$$\vec{F}=-\alpha\cdot v^{n-1}\cdot\vec{v}$$

Onde $\alpha$ e $n$ são constantes numéricas positivas que dependem da geometria do satélite e de características intrínsecas da atmosfera, como temperatura, densidade e composição. Para o problema, vamos considerar ambos efetivamente constantes e $\alpha$ suficientemente pequeno.

a) Prove que não há um movimento de precessão do periélio cumulativo na órbita.

b) A expressão para a taxa de variação da excentricidade $e$ da órbita é da seguinte forma:

$$\langle \frac{de}{dt} \rangle=\lambda\langle v^{n-1}\left(e+\cos \theta \right)\rangle$$

Onde $\theta$ é a anomalia verdadeira. Encontre $\lambda$ em função de $\alpha$ e $m$ a massa do satélite.

c) Prove que, para $n=1$, a excentricidade da órbita permanece constante.

d) Prove que a inclinação e a longitude do nó ascendente da órbita não sofrem variações cumulativas e que a taxa de variação do momento angular específico $\vec{h}$ é dada pela equação abaixo.

$$\langle\frac{d\vec{h}}{dt}\rangle=-\frac{\alpha}{m}\langle v^{n-1}\rangle\vec{h}$$

e) Demonstre que a taxa de variação do semieixo maior $a$ é dada pela equação abaixo, onde $\mu=GM_\oplus\$.

$$\langle \frac{da}{dt} \rangle=-\frac{2\alpha}{\mu m} a^2\langle v^{n+1}\rangle$$

f) No limite $e\ll 1$, estime o tempo $t$ que um satélite de massa $m=450{.}000\ \text{kg}$ em uma órbita com $a_0=6{.}800\ \text{km}$ e $n=2$ demoraria para decair até a superfície terrestre. Adote $\alpha \approx 10^{-8}\ \text{kg/m}$. Esse valor para $t$ será maior ou menor que o real?

g) Aponte os principais erros do modelo de Bibucha.

Observação: $\langle x\left(t\right)\rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x\left(t\right)\, dx$ é o valor médio da variável $x\left(t\right)$ calculado sobre um período orbital T.