Astronomia – Semana 119

Escrito por Davi Lucas

Iniciante

A Régua Cósmica

Essa descoberta revolucionária foi feita há cerca de 100 anos, quando astrônomos notaram que, com poucas exceções, quase todas as galáxias estavam se afastando da Via Láctea. Atualmente, sabemos que as poucas galáxias próximas estão tão próximas que a interação gravitacional entre elas e a nossa vence a expansão do universo, por isso tais se aproximam. Em geral, galáxias situadas a até cerca de 1 Mpc (a escala típica do Grupo Local) apresentam movimento de aproximação, enquanto aquelas mais distantes tendem a se afastar devido à expansão do cosmos.

Estudando o espectro da luz de várias galáxias, Edwin Hubble determinou suas velocidades de afastamento e descobriu uma relação linear entre essa velocidade e a distância até essas galáxias. Essa relação ficou conhecida como a Lei de Hubble, expressa pela fórmula:

$$v = H_0 \cdot d$$

Onde:

• $v$ é a velocidade de recessão da galáxia (em km/s)
• $d$ é a distância da galáxia à Terra (em megaparsecs, Mpc)
• $H_0$ é a constante de Hubble, cujo valor aproximado é $72 \,\rm{\frac{km}{s \cdot Mpc}}$, indicando a taxa de expansão do universo.

Considerando apenas a expansão do universo, ou seja, desconsiderando o movimento peculiar e interações gravitacionais, e sabendo que a galáxia de Andrômeda está a uma distância de $0{,}78\ \text{Mpc}$, qual seria sua velocidade radial esperada de acordo com a Lei de Hubble? Dê a resposta em km/s.

OBS: Considere que uma velocidade negativa indica aproximação, e uma velocidade positiva indica afastamento.

Intermediário

Rebobinando o Big Bang

Como vimos, observações feitas ao longo do século passado revelaram que o universo está se expandindo. Diante disso, surge uma pergunta instigante: seria possível “rebobinar” esse processo e descobrir quando tudo começou? Em outras palavras, podemos estimar a idade do universo?

Hoje vamos explorar o conceito de tempo de Hubble, uma estimativa fundamental que nos oferece uma escala de tempo para o nosso universo, isto é, uma aproximação bastante razoável para a sua idade. Para isso, imagine dois pontos quaisquer do universo que hoje estão separados por uma distância d e que, ao longo do tempo, não interagiram por nenhuma força ($F_r = 0$) ou seja, afastam-se apenas devido à expansão do espaço, com uma velocidade $v$.

Com base nisso, calcule há quanto tempo esses dois pontos estavam no mesmo lugar (isto é, no instante do Big Bang), e expresse sua resposta em bilhões de anos.

Dica: Use a lei de Hubble $v = H_0 d$ e, se necessário, a segunda lei de Newton $F = ma$.

Avançado

A assinatura do Quasar

O gráfico a seguir mostra o espectro de um quasar, que é um núcleo galáctico ativo extremamente luminoso, alimentado por um buraco negro supermassivo que emite grande quantidade de radiação. O espectro está centrado na linha de emissão Ly $\alpha$, facilmente identificada como a linha mais intensa do gráfico, com comprimento de onda de repouso medido em laboratório igual a $\lambda_{\text{lab}} = 1216 \, \mathring{A}$ .

Dados: $H_0$ é a constante de Hubble, cujo valor aproximado é $72 \,\rm{\frac{km}{s \cdot Mpc}}$, indicando a taxa de expansão do universo.

Dica: Para fazer este cálculo você precisará usar o redshift relativístico $z$, que é dado por:

$$z \equiv \frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \sqrt{\frac{1 + v/c}{1 - v/c}} - 1$$

onde $v$ é a velocidade de recessão do quasar e $c$, a velocidade da luz ($3{,}0 \times 10^8 \ \text{m/s}$).

Encontre a distância aproximada deste quasar em Mpc.

Internacional

Disputa desfocada

Enquanto estudava para a seletiva online, Pracinha se deparou com uma manchete no jornal YaHu: “O universo está em expansão”. Curioso, ele levantou uma questão:

O redshift que observamos nas galáxias é causado pelo efeito Doppler, devido às velocidades peculiares, ou resulta da própria expansão do espaço-tempo?

Para retirarmos essa e qualquer outra dúvida que possa surgir a Pracinha, deduziremos os diferentes tipos de Redshift que existem!

Parte A – Redshift do Efeito Doppler

Considere a análise do espectro de uma galáxia com velocidade $v$, na qual se observa um comprimento de onda $\lambda$ correspondente a uma linha espectral que, em repouso no laboratório, possui comprimento de onda $\lambda_0$.

a) Esquematize a emissão de duas frentes de onda consecutivas pela fonte em movimento, separadas por um intervalo de tempo $T_0$ medido no referencial da fonte, mas sobrepostas no mesmo desenho. Indique claramente no esquema os significados de $v$, $\lambda$ e $\lambda_0$.

b) Com base no esquema, determine as expressões de $\lambda$ e $\lambda_0$ em função de $v$, $T_0$ e constantes fundamentais.

c) Encontre o redshift do efeito Doppler relativístico em função de $\beta \equiv \frac{v}{c}$.

Dica:

$$z = \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0}$$

O redshift, quando analisado pelo efeito Doppler, considera apenas as velocidades peculiares das galáxias. No entanto, a grandes distâncias, as “velocidades” (entre aspas porque, na realidade, é a própria malha do espaço que está se expandindo, modificando a distância entre os objetos, e não as galáxias que estão se movendo pelo espaço) tornam-se dominadas pela expansão do universo, descrita pela lei de Hubble. Nessas escalas, as velocidades peculiares tornam-se desprezíveis. Esse é o chamado redshift cosmológico.

Parte B – Redshift Cosmológico

Antes de tudo, é importante definirmos em que situações a distância entre galáxias é suficientemente grande para que a velocidade decorrente da expansão do universo supere as velocidades peculiares das galáxias. Para isso, precisamos antes compreender como o universo se expande.

Considere duas galáxias sendo observadas no instante atual $t_0$. Podemos introduzir o fator de escala $a(t)$, que descreve como as distâncias evoluem ao longo do tempo. Se $r(t)$ representa a distância entre as galáxias em um instante $t$, e $r_0$ é a distância atual ($t = t_0$), então:

$$r(t) = r_0 \, a(t)$$

Com a convenção de que $a(t_0) \equiv 1$.

d) A partir da equação acima e sabendo que o parâmetro de Hubble (H) é definido como:

$$H(t) \equiv \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}$$

Derive a lei de Hubble.

Obs: A título de curiosidade, você deve ter percebido que usamos o termo parâmetro de Hubble e não constante de Hubble. Essa é uma convenção importante, pois o que chamamos de “constante” na verdade não é constante — ela varia ao longo do tempo. Essa variação na taxa de expansão do universo ao longo do tempo é justamente o que torna algumas análises dos próximos itens mais complexas.

e) Agora que conhecemos a Lei de Hubble, e sabendo que as velocidades peculiares típicas das galáxias estão na ordem de $1000 \, \text{km/s}$, determine a que distância a contribuição do redshift cosmológico começa a ser mais relevante que a do efeito Doppler.

Dados: $H_0$ é a constante de Hubble, cujo valor aproximado é $72 \,\rm{\frac{km}{s \cdot Mpc}}$, indicando a taxa de expansão do universo.

Obs: É importante notar que, embora usemos $H_0 \approx 72 \, \text{km/s/Mpc}$ nestes problemas para fins de cálculo, seu valor exato ainda é um intenso tema de debate na cosmologia. Essa divergência entre os valores medidos por diferentes métodos (observação de estrelas cefeidas, análise da radiação cósmica de fundo (CMB), entre outros) é conhecida como a tensão de Hubble, uma das principais questões em aberto da ciência atual.

Acima dessa escala encontrada no item anterior, o redshift devido à expansão do universo tende a dominar sobre os efeitos locais do movimento peculiar. Para analisarmos e encontrarmos a relação do redshift cosmológico, precisamos estudar as variações da expansão do universo em intervalos infinitesimais de tempo, já que a taxa de expansão muda ao longo do tempo. Assim, estaremos também analisando infinitésimos da trajetória entre dois pontos escolhidos no espaço (A e B).

f) Desconsiderando efeitos relativísticos, e sabendo que $v = z c$ e $z = \frac{\Delta \lambda}{\lambda}$, considere um feixe de luz que percorre um trecho infinitesimal de comprimento $dx$ durante um intervalo de tempo $dt$. Com base nisso, encontre a relação do efeito Doppler cosmológico que conecta os comprimentos de onda no instante atual $\lambda_0$ e no instante de emissão $\lambda_e$ com os respectivos fatores de escala do universo.

Dica:

$$\int_{a}^{b} \frac{df}{f} = \ln \left(\frac{b}{a}\right)$$

Aê! Depois de mergulhar fundo nos dois tipos de redshift que aprendeu — o Doppler e o cosmológico — Pracinha resolveu dar uma pausa. Ou melhor, desfocar um pouco. Nada melhor pra isso do que um bom filme, né? Escolheu Interestelar. Coincidência?

Durante uma das cenas mais intrigantes, no planeta Miller — aquele que orbita perigosamente perto de um buraco negro — uma dúvida pipocou na mente do Pracinha:

Se alguém na superfície desse planeta emitisse um feixe de luz, o que causaria o redshift observado? Seria igual aos que eu aprendi… ou a presença de um buraco negro muda tudo?

Curioso como sempre, Pracinha pausou o filme e foi atrás da resposta. Foi aí que descobriu que existe um terceiro tipo de redshift: o redshift gravitacional.

Parte C – Redshift Gravitacional

Esse fenômeno acontece quando a luz escapa de regiões com campos gravitacionais muito intensos. Nesses casos, a distorção do espaço-tempo — prevista pela relatividade geral de Einstein — faz com que os fótons percam energia, esticando seu comprimento de onda. Em outras palavras, sim: o buraco negro muda tudo. Veremos aqui uma dedução aproximada de tal redshift.

g) Utilizando relação de equivalência entre massa e energia de Einstein, encontre a massa equivalente de um fóton de frequência $f$.

h) Ao atravessar um campo gravitacional, a energia do fóton é afetada: parte dela é “gasta” para vencer o campo, de modo que a conservação de energia se mantenha válida. Usando esse princípio e considerando que o buraco negro possui massa $M$ e que estamos a uma distância $R$ do corpo massivo, deduza uma expressão aproximada para o redshift gravitacional.

Dica: Para conservar a energia, uma das situações utilizadas pode ser o fóton no infinito.