Astronomia – Semana 127

Escrito por Luís Fernando

Iniciante

Trânsito da ISS

Em seu voo orbital a cerca de 400 km de altitude e com uma velocidade de 8 km/s, a Estação Espacial Internacional (ISS) cruza ocasionalmente o disco lunar, dando origem ao trânsito desse satélite artificial diante da Lua. Esse fenômeno, que lembra um mini-eclipse artificial, só é visível em faixas estreitas da superfície terrestre, dependendo do alinhamento preciso entre a Lua, a ISS e o observador.

Considere um trânsito em particular, representado pela imagem abaixo. Se pegarmos um transferidor e medirmos, na imagem, o ângulo entre o primeiro contato e o último contato da ISS com a Lua, com vértice no centro do disco lunar, obteremos $\theta = 128^\circ$. Ademais, nesse trânsito em específico, a ISS se move com velocidade angular $\omega = 71{,}9\,\text{arcsec/s}$. Com base nisso, calcule a duração do trânsito (em segundos).

Dados: Raio angular da Lua: $R=0{,}26^\circ$

Intermediário

Elevador Espacial

A ideia de um elevador espacial propõe ligar a Terra ao espaço por meio de um cabo muito resistente, ancorado no solo e estendido até além da órbita geoestacionária. Por ele, seria possível transportar cargas e pessoas sem o uso de foguetes, tornando o acesso ao espaço mais barato e constante.

Conforme o elevador sobe, o campo de visão do observador aumenta e a atmosfera se torna mais fina, permitindo enxergar cada vez mais estrelas. Perto da superfície, o brilho do céu e a curvatura da Terra limitam a observação, mas em grandes altitudes o céu se escurece e a Via Láctea se torna visível em detalhes.

Sabendo que o elevador sobe com velocidade vertical constante $v$, e desconsiderando a extinção atmosférica, calcule a quantidade de estrelas visíveis ao observador em função do tempo $t$ e da quantidade total de estrelas no céu $N_0$. Assuma que as estrelas estão homogeneamente distribuídas.

Avançado

Modified Newtonian Dynamics

A teoria de Modified Newtonian Dynamics (MOND) propõe que para acelerações muito pequenas ($a \ll a_0$), a relação entre força e aceleração é dada por

$$F = m \frac{a^2}{a_0},$$

onde $a_0 \sim 1,2 \times 10^{-10} \, \mathrm{m/s^2}$.

Considere uma galáxia esfericamente simétrica, cuja massa $M(r)$ dentro de um raio $r$ varia de acordo com

$$M(r) = M_0 \left( 1 - e^{-r/R_s} \right)$$

onde $M_0$ é a massa total da galáxia e $R_s$ é uma escala radial característica.

a) Derive a expressão para a velocidade orbital $v(r)$ de uma estrela em órbita circular, no regime MOND de baixas acelerações, considerando a distribuição de massa $M(r)$.

b) Determine o limite de $v(r)$ para $r \gg R_s$ e interprete fisicamente o resultado.

c) Discuta qualitativamente como a forma da função $M(r)$ influencia a curva de rotação interna ($r \sim R_s$) em comparação com a previsão Newtoniana.

Internacional

Coutinho em Busca do Buraco Negro Primordial

Em um determinado momento de sua saga em busca de um buraco negro primordial, Coutinho se deparou com um grande buraco negro. Ansiosíssimo para estudar o objeto, ele acaba por descobrir que o astro se trata de um buraco negro de Kerr: um objeto relativístico dotado de massa $M$ e de momento angular $J$, mas sem carga elétrica.

Coutinho, muito fã de conteúdos comicamente desfocados, decide sacar seu livro de Relatividade Geral para consultar a métrica de Kerr. O tensor métrico para um buraco negro desse tipo é dado pela seguinte matriz:

$g_{\mu\nu} =$
\begin{pmatrix}
-\left(1 – \dfrac{2 G M r}{\Sigma c^2}\right) & 0 & 0 & – \dfrac{2 G M a r \sin^2\theta}{\Sigma c} \\
0 & \dfrac{\Sigma}{\Delta} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \Sigma & 0 \\
– \dfrac{2 G M a r \sin^2\theta}{\Sigma c} & 0 & 0 & \left(r^2 + a^2 + \dfrac{2 G M a^2 r \sin^2\theta}{\Sigma c^2}\right)\sin^2\theta
\end{pmatrix}

Em que:

$$\Sigma=r^2+a^2\cos^2(\theta),\,\,\,\Delta=r^2-\frac{2GMr}{c^2}+a^2,\,\,\,a=\frac{J}{Mc},\,\,\,\theta:\text{colatitude}$$

A partir disso, o intervalo espaço-temporal ($ds$) pode então ser escrito da seguinte forma:

$$ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$$

Em que:

$$dx^0=t,\,dx^1=r,\,dx^2=\theta,\,dx^3=\phi$$

Parte I: Processo Penrose

Ao enfrentar problemas com piratas cósmicos, Coutinho acaba por perder uma grande quantidade de energia, de forma a estar em um estado de maus bocados. Porém, perspicaz como sempre, ele se lembra de um curioso processo energético idealizado pelo físico e matemático Roger Penrose: o chamado Processo Penrose, e decide então utilizá-lo.

A explicação por trás desse processo é complexa, mas Coutinho decide te explicar (com a condição de que você se dedique a ajudá-lo em sua missão):

A ideia central do processo é a seguinte: imagine que uma partícula é lançada em direção ao buraco negro e entra na ergosfera – uma região onde nenhuma partícula pode permanecer completamente em repouso. Uma vez lá dentro, essa partícula se divide em duas. Uma das partes cai no buraco negro, enquanto a outra escapa para o infinito. Se o evento for cuidadosamente planejado, a parte que cai pode acabar com uma energia total negativa, medida do ponto de vista de um observador distante. Como a energia total do sistema deve ser conservada, a outra parte — que escapa — sai com mais energia do que a partícula original possuía. Essa energia extra vem diretamente da rotação do buraco negro.

a) De acordo com o Teorema de Noether, toda simetria contínua em um sistema físico implica em uma quantidade conservada. Como é possível inferir a partir da métrica de Kerr, uma dessas simetrias se trata da simetria temporal. Nesse sentido, é possível provar que tal simetria implica na conservação de energia. Assim, a expressão para a energia de uma partícula imersa em um espaço-tempo descrito pela métrica de Kerr, considerando que essa quantidade é conservada, é dada pela seguinte expressão:

$$E=-(g_{tt}\dot{t}+g_{t\phi}\dot{\phi})$$

Desse modo, analisando a expressão acima, demonstre que, dentro da ergosfera, pode haver casos em que $E<0$. Ademais, responda: o que se pode dizer a respeito da velocidade angular de partículas com tal energia?

Dica: Como dito pelo enunciado, a ergosfera é caracterizada por uma região em que que há apenas um sentido de movimento: o favorável ao de rotação do buraco negro. Isso atribui à rotação um caráter "temporal", e, ao tempo, um caráter espacial. Em suma, isso faz com que a coordenada temporal troque de sinal.

b) Considerando que Coutinho entre na ergosfera do buraco negro de Kerr com energia $E_0 > 0$ e que, dentro dessa região, arremesse seu querido violino de energia $\varepsilon$ de modo que $\varepsilon < 0$, obtenha uma expressão para a variação de energia de Coutinho (tendo realizado corretamente o processo, espera-se que tal variação seja positiva).

Parte II: Máxima Eficiência Energética

Após perceber o quão eficiente o Processo Penrose é, Coutinho decide então ganhar a vida com isso passando o resto de sua vida sugando a energia do buraco negro!

Todavia, Coutinho sabia que nenhum processo possui 100% de eficiência (a não ser a sua habilidade em corrigir provas). Dessa forma, ele decide então descobrir a máxima eficiência que esse processo pode oferecer.

Para provar o resultado do item (e), pode ser interessante utilizar um interessante resultado da chamada Termodinâmica de Buracos Negros: o Teorema das Áreas!

Tal teorema, similar à Segunda Lei da Termodinâmica, estabelece que a variação da área de um buraco negro é sempre maior ou igual a zero, nunca sendo negativa.

c) Utilizando a métrica de Kerr, demonstre que a área de um buraco negro é dada pela seguinte expressão:

$$A=4 \pi (r_+^2+a^2)$$

Em que $r_+$ se refere ao raio do horizonte de eventos desse tipo de buraco negro.

Dica: A seguinte relação pode ser útil:

$$\int \sin(x)dx=-\cos(x)+C$$

d) Partindo da fórmula obtida acima, escreva a área do buraco negro em função da massa $M$ e do momento angular $J$. Quais as condições correspondentes às áreas mínima e máxima?

e) Utilizando o Teorema das Áreas, calcule a máxima eficiência ($\eta$) que o Processo Penrose pode oferecer.