Soluções – Astronomia 119

Escrito por Davi Lucas

Iniciante

A Régua Cósmica

Como dito no enunciado, desconsideraremos as interações gravitacionais. Portanto, mesmo que a Galáxia de Andrômeda esteja, na realidade, se aproximando devido à sua pequena distância até nós, considerando apenas a expansão do universo ela está se afastando de acordo com a lei de Hubble.
Substituindo $H_0 = 72 \,\mathrm{\frac{km}{s \cdot Mpc}}$ e $d = 0{,}78\,\mathrm{Mpc}$, temos:

$$v = H_0 \cdot d = 72 \,\rm{\frac{km}{s \cdot Mpc}} \cdot 0,78 \rm{Mpc}$$

$$\boxed{v = + 56,16 \rm{km/s}}$$

Intermediário

Rebobinando o Big Bang

O ponto de partida para estimar a idade do universo, neste modelo, é a premissa de que a força resultante ($F_r)$ sobre os pontos que se afastam é nula. Pela Segunda Lei de Newton, $F_r = ma$, se a força é zero, a aceleração $a$ também é zero. Isso implica que a velocidade de afastamento $v$ entre quaisquer dois pontos do universo, devido apenas à expansão, pode ser considerada constante ao longo do tempo.

Com uma velocidade constante, podemos usar a relação fundamental da cinemática que diz que o tempo $t$ é a razão entre a distância $d$ e a velocidade $v$. Assim, o tempo decorrido desde que esses pontos estavam juntos na singularidade seria:

$$t = \frac{d}{v}$$

Aqui entra a genialidade da Lei de Hubble, que nos dá a velocidade de expansão: $v = H_0 d$. Substituindo esta lei na nossa equação de tempo, a distância $d$ elegantemente se cancela:

$$t = \frac{d}{H_0 d} = \frac{1}{H_0}$$

Encontramos, portanto, que a idade do universo neste modelo, conhecida como Tempo de Hubble $t_H$, é simplesmente o inverso da constante de Hubble.

Agora, vamos ao cálculo. Para encontrar o valor de $t_H$, precisamos de $H_0$ em unidades de $\text{s}^{-1}$. Usando $H_0 \approx 72 \, \text{km/s/Mpc}$ e sabendo que $1 \, \text{Mpc} = 10^6 \cdot 206265 \cdot 1.5 \cdot 10^{8} \rm{km} \approx 3,086 \times 10^{19} \, \text{km}$, convertemos diretamente:

$$H_0 \approx \frac{72 \, \text{km/s}}{3,086 \times 10^{19} \, \text{km}} \approx 2,333 \times 10^{-18} \, \text{s}^{-1}$$

Com a constante de Hubble em unidades de $\text{s}^{-1}$, podemos finalmente calcular o Tempo de Hubble:

$$t_H = \frac{1}{H_0} \approx \frac{1}{2,333 \times 10^{-18} \, \text{s}^{-1}} \approx 4,286 \times 10^{17} \, \text{s}$$

O último passo é converter este valor em segundos para bilhões de anos, utilizando $1 \, \text{ano} = 365 \cdot 24 \cdot 3600 \rm{s} \approx 3,154 \times 10^7 \, \text{s}$:

$$t_H (\text{anos}) = \frac{4,286 \times 10^{17} \, \text{s}}{3,154 \times 10^7 \, \text{s/ano}} \approx 1,359 \times 10^{10} \, \text{anos}$$

$$\boxed{t_H \approx 13,6 \text{ bilhoes de anos}}$$

Avançado

A assinatura do Quasar

Analisando o gráfico, temos que $\lambda \approx 7344 \, \mathring{A}$:

Logo, temos que o redshift é:

$$z = \frac{\lambda}{\lambda_{lab}} - 1 = \frac{7344}{1216} - 1 \approx 5,04$$

$$z = \sqrt{\frac{1+ \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}} - 1$$

$$z + 1 = \sqrt{\frac{1+ \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}}$$

$$(z+1)^2 = \frac{1+ \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}$$

$$\left(1 - \frac{v}{c}\right)(z+1)^2 = 1 + \frac{v}{c}$$

$$(z+1)^2 - \frac{v}{c}(z+1)^2 = 1 + \frac{v}{c}$$

$$(z+1)^2 - 1 = \frac{v}{c} \left[(z+1)^2 + 1\right]$$

$$\frac{v}{c} = \frac{(z+1)^2 - 1}{(z+1)^2 + 1}$$

$$v = \frac{(z+1)^2 - 1}{(z+1)^2 + 1} \cdot c$$

Pela lei de Hubble $v = H_0 d$, logo:

$$v = v \rightarrow \frac{(z+1)^2 - 1}{(z+1)^2 + 1} \cdot c = H_0 d$$

$$d = \frac{c}{H_0} \cdot \frac{(z+1)^2 - 1}{(z+1)^2 + 1}$$

Substituindo os valores:

$$d = \frac{3 \cdot 10^5 \,\rm{km/s}}{72 \,\rm{\frac{km}{s \cdot Mpc}}} \cdot \frac{(5,04+1)^2 - 1}{(5,04+1)^2 + 1}$$

$$\boxed{d \approx 3945 \, \rm{Mpc}}$$

Internacional

Disputa desfocada

Parte A – Redshift do Efeito Doppler

a) O esquema esperado se assemelha ao apresentado a seguir. Nele, Fonte 1 representa a posição da fonte no instante da primeira emissão, e Fonte 2, sua posição no instante da segunda emissão, separados por um intervalo de tempo $T$.

Note que a diferença entre os comprimentos de onda observados se deve ao fato de que o movimento da fonte altera a distância entre os frentes de onda sucessivos — ou seja, as ondas emitidas estão mais espaçadas (ou comprimidas se a velocidade for negativa) do que estariam se a fonte estivesse em repouso:

b) Como o intervalo de tempo $T_0$ foi medido no referencial da fonte, denotemos $T$ como sendo o período no referencial terrestre (isto é, o tempo entre duas emissões consecutivas observadas no laboratório), a Teoria da Relatividade Restrita nos dá a relação:

$$T = \gamma T_0 \quad , \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

Portanto, pelo esquema podemos escrever que:

$$\lambda = (c+v) \,T \rightarrow \boxed{ \lambda= (c+v) \gamma T_0}$$

$$\boxed{\lambda_0 = c \,T_0}$$

c) Como dito na dica do enunciado,

$$z = \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{\lambda}{\lambda_0} -1$$

Portanto começaremos encontrando a razão $\frac{\lambda}{\lambda_0}$ de acordo com os resultados do item anterior:

$$z = \frac{(c+v) \gamma T_0}{cT_0} - 1 = \frac{(c+v)\gamma}{c} - 1$$

Substituindo $\gamma$:

$$z = \frac{(c+v)}{c \left(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)} - 1$$

$$z = \frac{(c+v)c}{c \sqrt{c^2 - v^2}} - 1$$

$$z = \frac{(c+v)}{ \sqrt{(c-v)(c+v)}} - 1$$

$$z = \sqrt{\frac{(c+v)}{(c-v)}} - 1$$

$$z = \sqrt{\frac{c(1+\frac{v}{c})}{c(1-\frac{v}{c})}} - 1$$

$$\boxed{z = \sqrt{\frac{(1+\beta)}{(1-\beta)}} - 1}$$

Parte B – Redshift Cosmológico

d)

Pela equação dada, temos que:

$$r_0 = \frac{r(t)}{a(t)}$$

Além disso, diferenciando a equação, temos:

$$\dot r(t) = \dot a(t) r_0$$

$$v(t) = \dot a(t) r_0$$

Substituindo $r_0$:

$$v(t) = r(t) \frac{\dot a(t)}{a(t)}$$

Usando a definição do paramêtro de Hubble:

$$v(t) = H(t) r(t)$$

Analisando no tempo atual:

$$\boxed{v = H_0 r_0}$$

e) Utilizando da lei de Hubble, para saber em qual distância uma galáxia tem uma “velocidade” de 1000 km/s pela expansão do espaço:

$$v = H_0 r_0$$

$$1000 \, \rm{km/s} = 72 \,\rm{km/s \cdot Mpc} \,r_0$$

$$\boxed{r_0 \approx 13,89 \, \rm{Mpc}}$$

Logo, galáxias localizadas a distâncias iguais ou superiores a $13,89 \, \rm{Mpc}$ têm, em geral, seu redshift dominado pela expansão do universo. Isso ocorre porque, a partir dessa distância, a velocidade de recessão prevista pela Lei de Hubble supera a velocidade peculiar média das galáxias.

f) Visto que analisaremos apenas infinitesimais da trajetória, diferenciemos as equações dadas no enunciado:

$$dv = dz \cdot c$$

$$dv = \frac{d\lambda}{\lambda} \cdot c$$

Diferenciando a lei de Hubble:

$$dv = H_0 dx$$

Como $dv = dv$:

$$H_0 \frac{dx}{c} = \frac{d\lambda}{\lambda}$$

Como $c = \frac{dx}{dt}$:

$$H_0 \, dt = \frac{d\lambda}{\lambda}$$

$$\frac{\dot{a}}{a} \, dt = \frac{d\lambda}{\lambda}$$

Integrando:

$$\int_{a_e}^{a_0} \frac{da}{a} = \int_{\lambda_e}^{\lambda_0} \frac{d\lambda}{\lambda}$$

$$\boxed{z + 1 = \frac{\lambda_0}{\lambda_e} = \frac{a_0}{a_e}}$$

Parte C – Redshift Gravitacional

g)

A equação de Einstein diz

$$E = mc^2$$

Enquanto a energia de um fóton é

$$E = hf$$

Portanto a massa equivalente é:

$$mc^2 = hf$$

$$\boxed{m= \frac{hf}{c^2}}$$

h) Quando o fóton é exposto a um campo gravitacional, sua energia sofre uma variação que compensa a variação da energia potencial gravitacional, de modo a conservar a energia total. Portanto, as variações nas duas energias se anulam:

$$\Delta (hf) + m \Delta U = 0$$

Utilizando a equivalência massa-energia $m = \frac{hf}{c^2}$:

$$\Delta (hf) + \frac{hf}{c^2} \Delta U = 0$$

Isolando a razão entre a variação da frequência e a frequência:

$$\frac{\Delta f}{f} = - \frac{\Delta U}{c^2}$$

Diferenciando a equação fundamental da ondulatória, encontramos a relação entre $\frac{\Delta f}{f}$ e $\frac{\Delta \lambda}{\lambda}$:

$$f = \frac{c}{\lambda} \Rightarrow df = -\frac{c}{\lambda^2} \, d\lambda \Rightarrow \frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{df \cdot \lambda}{c} = -\frac{df}{f}$$

Portanto, o redshift pode ser escrito como:

$$z = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} = - \frac{\Delta f}{f} = \frac{\Delta U}{c^2}$$

Considerando a conservação da energia entre a situação atual — com frequência $f$ a uma distância $R$ do buraco negro de massa $M$ — e o fóton no infinito:

$$\Delta U = U(\infty) - U(R) = 0 - \left(-\frac{GM}{R}\right) = \frac{GM}{R}$$

Portanto:

$$\boxed{z = \frac{GM}{Rc^2}}$$