Órbita relativa

Por Lucas Shoji

Um teorema bastate utilizado em exercícios mais complicados de gravitação é a de que as órbitas de duas massas não desprezíveis uma em relação a outra, $m_1$ e $m_2$, são equivalentes a uma órbita de uma massa desprezível $\mu = {m_1m_2 \over{m_1+m_2}}$, a massa reduzida, em torno de uma massa $M = m1+m2$.

Esquematizando as duas formas equivalentes:

A sugunda órbita também é chamada de órbita relativa. Vetorialmente

$\vec{r}=\vec{r_2}-\vec{r_1}$ ou $\vec{r_1}-\vec{r_2}$

dependendo do referencial. Perceba também que, em módulo, $r=r_1+r_2$.

Podemos também escrever relações entre as posições e as velocidades. Como o sistema orbita o centro de massa:

$r_1m_1=r_2m_2=(r-r_1)m_2 \Rightarrow r = ({m_1 \over {m_2} }+1)r_1$

Derivando em relação ao tempo:

$V=V_1({m_1 \over {m_2} }+1)$

Vamos calcular alguns parâmetros da nova órbita, sendo o subscripto 1 e 2 as órbitas 1 e 2, e sem subscripto a órbita relativa.

Apoastro: $Q = Q_1+Q_2= a_1(1+e_1)+a_2(1+e_2)$

Periastro: $q = q_1+q_2 = a_1(1-e_1)+a_2(1-e_2)$

Semi eixo maior: $a= {q+Q \over{2}} = a_1+a_2$

Excentricidade: $e= {Q \over a} - 1 = {a_1e_1+a_2e_2 \over{a_1+a_2}}=e_1=e_2$

Período: $P = P_1 = P_2 = \sqrt{{4\pi^2\over{GM}}a^3}$

Energia: $E = -{GM \mu \over 2a} = {\mu v^2\over{2}} - {GM \mu \over r} = {m_1v_1^2 \over 2}+{m_2v_2^2 \over 2} - {Gm_1m_2 \over r}$

Exercício recomendado:

Lista 6 dos treinamentos IOAA/OLAA 2019

Um sistema binário é composto por uma supergigante azul de $M_S=30,0 M_{sol}$ e um buraco negro. A supergigante orbita o centro de massa do sistema a cada $P = 5,6 dias$. Sua velocidade orbital é $V_{pm}=123,03 km/s$ no periastro e $V_{am}= 116,68 km/s$ no apoastro. Calcule a excentricidade e o comprimento do semieixo maior da órbita da supergigante, e também a massa dele.

Prova P2 dos treinamentos IOAA/OLAA 2020:

Link (Questão 10)