Astronomia - Ideia: Calculadora Científica

Por Bruno Makoto

Possuir uma calculadora científica é essencial para todas as fases da seletiva, pois existem certas contas e métodos que não são possíveis de serem realizados sem ela. Ainda, saber dominar o uso de certas funções da calculadora pode te salvar muito tempo (nas onlines, são apertados $6min$ por questão), que é um recurso precioso nas provas, e prevenir certos erros numéricos, os quais podem arruinar uma questão. Nessa aula irei utilizar como referência a calculadora CASIO fx-82MS, que é a calculadora mais 'padrão' no mundo olímpico, mas saiba que todas as calculadoras científicas devem possuir as mesmas funções, que podem ser encontradas em seus manuais (disponíveis no site da fabricante) ou com um pouco de exploração de suas interfaces.

Os tópicos a serem vistos são:

• Interface: Display, ligar e desligar
• Ângulos
• [SHIFT] e [ALPHA]
• Memória
• Botões: [DEL], [AC], [ANS], Parentêses, Vírgula, Cursor, [EXP] (ou [x$10^x$])
• Dicas

E encerrarei com dois problemas que caíram em questões antigas das online

Antes de qualquer coisa, clique em [SHIFT] -> [MODE] -> [3] para deixar sua calculadora idêntica a como ela saiu de fábrica

*Ao longo da aula, eu cito certas ordens de comandos como esse acima ([SHIFT] -> [MODE] -> [3]), porém somente agora (uns $5$ dias após eu ter postado) eu reparei que não coloquei um [=] na final da maioria delas. Então, sempre que eu citar uma ordem de comandos, certifique-se de que você clicou em [=] no final (ou seja, o correto seria eu ter escrito [SHIFT] -> [MODE] -> [3] -> [=]). Perdão pelo vacilo ;-;, tentarei arrumar isso quando der

Interface

 

Examine essa imagem e encontre cada um dos elementos indicados na sua própria calculadora (os símbolos podem variar). Brinque um pouco com ela para pegar o jeito da coisa: calcule $\sin 30^{\circ}$, $\log 10$, $5^5$, $\tan 90^{\circ}$, $\frac{10,1}{50,5}$, etc.

Display

A metade inferior da calculadora possui números, que podem ser relacionados através das operações da calculadora para obter resultados numéricos. Após digitar uma conta, tal como $1+2$, o display mostra aquilo que foi inserido e, clicando em [=], ele exibe o resultado. Além disso, há alguns slots para letras na parte mais superior do display, que mostram o MODO (padrão, estatístico ou regressão), unidade do ângulo (grau, radiano ou grado), botão selecionado (SHIFT, ALPHA, M (memória), etc), dentre outras funções

Ligar e desligar

Ligar: clique em [ON]

Desligar: clique em [SHIFT] -> [AC]

Ângulos

A calculadora permite que você coloque ângulos em graus ($^{\circ}$), minutos de arco('), segundos de arco("), radianos(rad) e grados. Lembre-se de que o radiano é a unidade que representa a falta de unidade (basta ver que $2\pi \: rad = \frac{p}{R}$, onde $p$ e $R$ são o perímetro e o raio do círculo, respectivamente, e que ambos possuem unidade de distância) e que a questão pode fornecer dados em horas, minutos e segundos, que são diferentes das unidades padrão da calculadora

Graus, Radianos e Grados

Para determinar qual a unidade dos ângulos que a calculadora interpreta, basta clicar em [MODE] -> [MODE] -> [1], [2] ou [3]->[=], onde esses números correspondem a, respectivamente, graus, radianos e grados

Você também pode determinar a unidade de ângulos na sua calculadora, independente de qual modo ela estiver, fazendo [SHIFT]->[ANS], que ativa o botão DRG (degree, radian e gradian, ou grau, radiano e grado), e clicando em [1], [2] ou [3] para grau, radiano e grado, respectivamente. Por exemplo, mesmo que sua calculadora esteja no modo grau, você pode calcular $\sin 2\pi \; rad$ clicando em [SHIFT]->[ANS]->[2]->[=] após ter colocado o seno de $2\pi$

*para colocar o valor exato de $\pi$ na sua calculadora, clique em [SHIFT]->[EXP]

• Coloque sua calculadora em graus e calcule $\sin 30$ e $\sin \pi$
• Coloque sua calculador em radianos e calcule $\sin \dfrac{\pi}{6}$ e $\sin \pi$
• Alguém sabe o que é grado?

Arcos de circunferência

É muito frequente questões pedirem, por exemplo, para o aluno calcular $12^{\circ}34'56" + 23^{\circ}26'10"$. Usualmente, você teria que converter cada um desses números em um análogo que estivesse com uma unidade única ($12^{\circ}34'56" = 45296"$ e $23^{\circ}26'10" = 84370"$), somar os valores (obtendo $129666"$), e enfim fazer o procedimento inverso ($129666"=36^{\circ}1'6"$) para finalmente chegar na resposta final na forma grau-minuto-segundo. Entretanto, é imensamente mais rápido fazer uso da calculadora.

Abaixo do botão de raiz quadrada ($\sqrt{\;}$) está um botão parecido com: $\boxed{^{\circ} \; ' \, "}$. Cada vez que você clica nesse botão, um símbolo de grau ($^{\circ}$) aparece no display, que pode representar grau, minuto de arco ou segundo de arco. Por exemplo, para colocar o ângulo $12^{\circ}34'56"$ na calculadora pode-se fazer:

[$12$] -> [$\boxed{^{\circ} \; ' \, "}$] -> [$34$] -> [$\boxed{^{\circ} \; ' \, "}$] -> [$56$] -> [$\boxed{^{\circ} \; ' \, "}$]

O resultado no display da calculadora será:

Somando esse resultado com o outro ângulo (procedimento análogo), temos:

Além disso, você pode converter qualquer valor de graus, minutos ou segundos para o formato grau-minuto-segundo com a calculadora colocando o próprio valor e clicando em [=]. Por exemplo, convertendo $9090"$ para grau-minuto-segundo:

Horas, minutos e Segundos

Para conventer de $h$,$min$,$s$ -> $^{\circ}$, ', ", basta lembrar que:

$24h=360^{\circ}$ $\qquad$ $1h=60min=3600s$ $\qquad$ $1^{\circ}=60'=3600"$

Com isso, vemos que $1h=15^{\circ}$, $1min=15'$ e $1s=15"$. Assim, um ângulo $AhBminCs$ pode ser convertido para G-M-S multiplicando $A^{\circ}B'C"$ por $15$. Por exemplo, para $1h30min5s$:

Vemos portanto que $1h30min5s=22^{\circ}31'15"$

Esses métodos são especialmente importantes para astronomia de posição, pois nela é muito comum aparecerem somas parecidas com aquela mostrada no início.

• Calcule $\cos (23^{\circ}26'10")$. $\tiny{R: 0,9175}$
• Escreva $78'130"$ no formato G-M-S. $\tiny{R: 1^{\circ}20'10"}$
• Converta $14h16min37s$ para o formato G-M-S. $\tiny{R: 214^{\circ}9'15"}$

SHIFT E ALPHA

Talvez você tenha reparado que, acima de boa parte dos botões da calculadora, existem algumas letras e funções que aparecem com duas possíveis cores: bege e fúcsia (?). Essas letras correspondem a funções completamente diferentes daquelas que estão em seus 'botões base', e podem ser ativadas usando os botões [SHIFT] (bege) e [ALPHA] (fúcsia). Veja a imagem:

Um exemplo é como proceder para calcular o $\arcsin$ (ou $\sin ^{-1}$) de um número, ou seja, o menor ângulo cujo seno correponde a tal número. Com auxílio da calculadora, basta fazer [SHIFT] -> [SIN] -> [número] -> [=]. Uma amostra é $\arcsin 0,5 = 30^{\circ} = 0,52rad$

Dois outros importantíssimos números que aparecem em olimpíadas são o $\pi$ e o $e$ (número de Euler, esse não cai tanto). Como ambos são irracionais, o ideal seria que você digitasse a maior quantidade possível de dígitos para obter um resultado próximo do correto, porém isso leva muito tempo. Uma solução simples é fazer: para $\pi$, [SHIFT]->[EXP]; para $e$, [ALPHA]->[ln]

Brinque um pouco com todas as novas funções que você agora pode utilizar: fatorial, exponenciais, funções trigonométricas inversas (como o $\arcsin$), raízes, etc. Estar confortável com todas elas é importante para fazer certas contas mais rapidamente durante a prova

Note também que, para acionar o botão [OFF] de desligar a calculadora, tínhamos clicado em [SHIFT] -> [AC], justamente porque o [OFF] é da cor bege e está sobre [AC]

• Calcule $e^2=exp(2)$. $\tiny{R: 7,389}$
• Calcule $exp(\pi)$. $\tiny{R: 23,14}$
• Calcule $10$!. $\tiny{R: 3.628.800}$
• Calcule $\arctan (1)$ e $\arctan (999999)$. $\tiny{R: 45^{\circ} \; e \; 89,9999^{\circ}}$
• Faça [SHIFT]->[.]->[=] e veja o resultado ;P

MEMÓRIA

Na última seção você provavelmente se perguntou da função das letras do alfabeto que estão na calculadora... adianto que elas são extremamente importantes! Ativadas com o botão [ALPHA], elas salvam valores na memória da calculadora, sendo uma de suas mais importantes funções, visto o enorme tamanho da precisão e do corte de tempo que pode ser atingido através do uso delas. Veja alguns exemplos de contas enormes que vocês eventualmente irão se deparar em suas jornadas olímpicas:

Note que, pegando o exemplo da equação superior, fazer a conta mostrada em somente uma 'rodada' na calculadora seria algo muito suscetível a erros, já que você teria que colocar muitos parênteses, provavelmente se perdendo no mar de números. Agora, se você primeiro calculasse $\cos \theta_{oposto}$ e colocasse no slot A da calculadora, depois fizesse $\cos \theta_{adjacente1} \cdot \cos \theta_{adjacente2}$ e colocasse no slot B, e por fim dividisse $A-B$ por $\sin \theta_{adjacente1} \cdot \sin \theta_{adjacente2}$, você encontraria o valor correto de maneira mais rápida, segura (se a conta der errado você pode identitificar em qual das passagens o erro se encontra) e organizada. Também é muito comum colocar os próprios valores dos ângulos (geralmente $\delta$ e $\alpha$) na memória, fazendo com que você não tenha que digitar os grandes ângulos do enunciado mais de uma vez-basta salvá-los na memória.

Para colocar um valor numérico na memória da calculadora no slot de uma letra N, por exemplo, basta fazer:

[Número]->[SHIFT]->[STO]->[N]

Onde [STO] está acima do número 7

Outras situações em que o uso da memória pode vir a calhar são: salvar fatores númericos que aparecem frequentemente nas contas (como $GM$ em mecânica celeste), salvar resultados de itens anteriores para utilizá-los nos próximos itens, escrever palavras no display (como B0MD1A), etc

• Calcule $v$ nas equações:

$v_1^2=\dfrac{GM}{a}\dfrac{1+e}{1-e}$

$v_2^2=\dfrac{GM}{a}$

Onde: $M=1,99 \cdot 10^{30}kg$, $G=6,67 \cdot 10^{-11}m^3kg^{-1}s^{-2}$, $a=1,50 \cdot 10^{11}m$ e $e=0,0167$

$\tiny{R: 30,2km/s \; e \; 29,7km/s}$, que são a velocidade da Terra em seu periélio e a velocidade da Terra assumindo órbita circular. Note que, calculando $\dfrac{GM}{a}$ e salvando o resultado em algum slot da calculadora, você poderia facilmente achar $v_1$ e $v_2$, abrindo margem também para facilmente encontrar a velocidade em outros pontos, como o afélio.

Para limpar a memória da calculadora, faça [SHIFT]->[MODE]->[1]

BOTÕES

Alguns botões que podem agilizar suas contas são:

[EXP] ou [x$10^x$]

Para fazer a conta da velocidade da Terra você provavelmente fez algo parecido com:

 

Porém, a calculadora possui um método muito mais rápido para escrever números que estão em potências de $10$, que é o botão [EXP]. Ele não passa de um [x$10^x$], ou seja, $6,67 \cdot 10^{-11}=6,67E-11$, tal como se observa na imagem:

 

[ANS]

Esse botão fornece o último valor calculado. Cuidado, pois ele não necessariamente dá o número que estiver na posição do Output (caso você esteja vendo suas contas anteriores, isso é um erro frequente)

Cursor

O cursor possui 4 botões: $\uparrow$, $\downarrow$, $\rightarrow$ e $\leftarrow$. Os dois primeiros servem principalmente para acessar as contas e resultados anteriores. Já os dois últimos são especialmente úteis para 'navegar' ao longo de uma conta que você estiver inserindo

[DEL]

Serve para deletar dígitos ou funções do display da calculadora enquanto você estiver em uma conta. Juntamente das setas horizontais do cursor, você pode corrigir praticamente tudo o que colocou

[AC]

"All-clear": limpa todas as contas que estiverem no display

Vírgula

PADRÃO DA CALCULADORA:

• Separador decimal - PONTO
• Separador de três dígitos - VÍRGULA

 

Na imagem acima, o botão da vírgula não deve ser utilizado a não ser que você esteja fazendo contas de estatística em sua calculadora (não é necessário para as onlines). O separador decimal é botão do ponto

OBS: É possível colocar a vírgula como separador decimal na calculadora, porém não recomendo que você se acostume com isso pois se, por qualquer motivo, sua calculadora estiver no padrão de fábrica e você se esquecer de alterar o separador decimal, um desastre estará plantado

Parênteses

A calculadora faz as contas númericas em uma ordem específica, que depende de seu modelo. Por exemplo, uma famosa conta que viralizou no twitter foi:

$8 \div 2(2+2)$

Provavelmente nem mesmo você possui certeza absoluta de qual é o resultado correto, e a calculadora possui esse mesmo problema: certos modelos interpretam essa conta como $\dfrac{8}{2\cdot 4}=1$, enquanto outras fazem $\dfrac{8}{2}\cdot 4 = 16$. Para evitar essa ambiguidade numérica, é necessário utilizar parênteses:

Para garantir que você obtenha $1$ ou $16$, independente do modelo de calculadora, uma possibilidade é fazer:

Dicas

• Procure somente substituir os valores numéricos de uma conta após ter chegado numa resposta algébrica
• Se você estiver em dúvida sobre a necessidade ou não do parênteses em certa conta, coloque-o
• Lembre-se sempre de limpar a memória (ou até mesmo restaurar os padrões de fábrica) quando for fazer um novo exercício ou problema
• Treine sua agilidade com a calculadora. Cada minuto gasto fazendo conta poderia ser utilizado para você pensar em como resolver a questão
• Não gaste tempo investigando outras funções da calculadora. Por ora, o conteúdo dessa aula é mais do que suficiente para as onlines, e você saberá quando precisar aprender novas funções

Exercícios

1. No Sistema Solar, diz-se que um planeta está em oposição quando ele é observado na direção diametralmente oposta à direção do Sol. Sabendo que Marte se encontra a $1,52UA$ do Sol, determinar a cada quantos dias Marte pode ser observado em oposição à Terra. Suponha todas as órbitas circulares e coplanares. Dado: um ano dura $365,25dias$ (PS: não é necessário fazer mmc)
2. Num hipotético planetoide, a gravidade cai de $2,50m/s^2$ (superficial) para $1,98m/s^2$ quando se sobre $10km$. Qual o raio desse planetoide? (PS: não é necessário fazer delta e bhaskara)