Por Fabrizio Ferro
O calendário pode ser definido da seguinte maneira: O conjunto de regras e tabelas usadas com a finalidade de agrupar os dias em diversos períodos que possibilitam um fácil cômputo de dias passados ou a passar [R. Boczko, Conceitos de Astronomia].
Por mais que fácil, o “cômputo de dias passados ou a passar” não tende a ser um processo tão rápido. Se todos os meses de um calendário tivessem a mesma quantidade de dias, tal processo seria reduzido a um simples problema de aritmética modular. A realidade, entretanto, sempre resiste a simplicidade. No calendário gregoriano por exemplo, um mês pode ter 30, 31 ou 28 dias (29 se o ano for bissexto). O motivo dessa “irregularidade arbitrária” se deve a uma longa história que envolve o Sol, a Terra, a Lua e alguns imperadores romanos com complexo de superioridade.
Na Astronomia, é comum termos que calcular o intervalo de tempo entre duas datas, ou mesmo ter que converter uma data de um calendário em seu correspondente dia do ano, e vice-versa. Assim, nessa ideia apresentaremos uma forma mais sistemática e talvez mais eficiente de computar períodos e datas para calendários “quase-regulares”. (Focaremos no calendário Gregoriano, mas nossa análise pode ser facilmente generalizada.)
Computação do Número do Dia de uma Data
Dado uma data arbitrária da forma $$d/m$$, qual seria o seu número $$D$$ correspondente? O dia 31 de dezembro (i.e. $$d=31$$, $$m=12$$), por exemplo, é o dia 365 de um ano não bissexto (i.e. $$D=365$$). Para o dia 1 de janeiro (i.e. $$d=1$$, $$m=1$$), $$D=1$$. Fornecido o dia $$d$$ e o mês $$m$$ de uma data, podemos computar seu número, $$D$$, usando o seguinte:
$$D=d+28\times (m-1)+\sum_{i=1}^{m} {{A}_{i}}$$ (1)
$$A=\begin{bmatrix} 0 & 3 & 0 & 3 & 2 & 3 & 2 & 3 & 3 & 2 & 3 & 2\end{bmatrix}$$
O $$28$$ no segundo termo do lado direito da equação (1) se deve ao fato de todos os meses terem pelo menos 28 dias, e a matriz $$A$$ se deve ao fato de alguns meses não terem exatamente 28 dias.
Exemplo:
Calcule o número do dia para 17/05/2021.
Nesse caso, é fácil de perceber que $$d=17$$ e $$m=5$$. Usando a equação (1), temos que:
$$D=17+28\times (5-1)+\sum_{i=1}^{5} {{A}_{i}}$$
$$D=17+28\times (5-1)+({A}_{1}+{A}_{2}+{A}_{3}+{A}_{4}+{A}_{5})$$
$$D=17+28\times (5-1)+(0+3+0+3+2)$$
$$D=137$$
A matriz $$A$$ pode ser facilmente memorizada dividindo seus elementos em grupos de 4, ou seja: 0303 2323 3232.
Computação da Data dado o Número do Dia
Agora, vamos supor que fosse fornecido apenas o número do dia. Não podemos resolver diretamente a equação (1) para $$m$$ e $$d$$, pois temos apenas uma equação para duas variáveis. Entretanto, é possível perceber que $$\sum_{i=1}^{5} {{A}_{i}}<28$$, assim, existe uma forma de obter dois pares de $$d$$ e $$m$$, sendo que apenas 1 “faz sentido”. Podemos então obter $$d$$ e $$m$$, a partir de $$D$$, pelas seguintes relações (2):
Se $$D-28\times (\left\lfloor D/28 \right\rfloor -1)-\sum _{ i=1 }^{ \left\lfloor D/28 \right\rfloor }{ { A }_{ i } } <28+{ A }_{ (m+1) }$$ :
$$m=\left\lfloor D/28 \right\rfloor$$
$$d=D-28\times (\left\lfloor D/28 \right\rfloor -1)-\sum _{ i=1 }^{ \left\lfloor D/28 \right\rfloor }{ { A }_{ i } } $$
Se $$D-28\times (\left\lceil D/28 \right\rceil -1)-\sum _{ i=1 }^{ \left\lceil D/28 \right\rceil }{ { A }_{ i } } >0$$ :
$$m=\left\lceil D/28 \right\rceil $$
$$d=D-28\times (\left\lceil D/28 \right\rceil -1) $$
Onde foi usado a função floor e a função ceiling. A função a função floor, denotada por $$\left\lfloor x \right\rfloor$$, converte um número real $$x$$ no maior número inteiro menor ou igual a $$x$$, enquanto a função ceiling, denotada por $$\left\lceil x \right\rceil$$, converte um número real $$x$$ no menor número inteiro maior ou igual a $$x$$. Por exemplo, $$\left\lfloor 43.2 \right\rfloor=43$$ e $$\left\lceil 43.2 \right\rceil=44$$. Mas note que $$\left\lfloor 43 \right\rfloor=\left\lceil 43 \right\rceil=43$$.
Talvez um exemplo esclareça o uso das relações (2).
Exemplo:
Calcule a data do dia 73 de um ano não bissexto.
Podemos perceber das relações (2) que sempre teremos dois valores de $$m$$ a serem considerados, mas apenas um deles possui um $$d$$ correspondente que “faz sentido” ($$d$$ não pode ser negativo, nulo, ou maior que o número de dias do mês). Assim, para $$D=73$$, temos:
$$m=\left\lfloor 73/28 \right\rfloor = \left\lfloor 2.607 \right\rfloor =2$$
ou
$$m=\left\lceil 73/28 \right\rceil=\left\lceil 2.607 \right\rceil=3$$
Vamos testar $$m=2$$ primeiro. Nesse caso, podemos usar (1) para achar $$d$$:
$$d=73-28\times (2-1)-\sum_{i=1}^{2} {{A}_{i}}$$
$$d=73-28\times (2-1)-({A}_{1}+{A}_{2})$$
$$d=73-28\times (2-1)-(0+3)=42$$
$$42$$ pode ser a resposta de diversas perguntas, mas com certeza fevereiro (i.e. $$m=2$$) não possui 42 dias. Só nos resta a opção $$m=3$$, usando (1) novamente:
$$d=73-28\times (3-1)-\sum_{i=1}^{3} {{A}_{i}}$$
$$d=73-28\times (3-1)-({A}_{1}+{A}_{2}+{A}_{3})$$
$$d=73-28\times (3-1)-(0+3+0)=14$$
Ou seja, para $$D=73$$, $$m=3$$ e $$d=14$$.
14 de março (também conhecido como dia do $$\pi$$), é o dia $$73$$ de um ano não bissexto.
Caso de anos bissextos
Caso o ano seja bissexto, é preciso usar uma matriz $$B$$ diferente de $$A$$, dada por:
$$B=\begin{bmatrix} 0 & 3 & 1 & 3 & 2 & 3 & 2 & 3 & 3 & 2 & 3 & 2\end{bmatrix}$$
Note que a matriz $$B$$ é obtida alterando apenas o elemento $${A}_{3}$$ da matriz $$A$$.
Exemplo:
No dia 14/08/2020, Vênus atingiu sua elongação máxima ocidental. Calcule a próxima data em que Vênus estará nessa mesma configuração.
Podemos calcular que o período sinódico de Vênus é $$S=583.92$$ dias.
O número do dia de 14/08/2020 é:
$$D=14+28\times (8-1)+(0+3+1+3+2+3+2+3)=227$$
Pois 2020 é bissexto. O número do dia da próxima elongação máxima ocidental será:
$$D+S=820.92$$
Que é em 2022. Podemos obter o número desse dia, em 2022, subtraindo a duração do ano de 2020 e 2021 do valor encontrado, ou seja:
$$D’=D+S-366-365.25=89.67\approx 90$$
Usando as relações (2), encontramos que $$m=3$$ e $$d=31$$ (31 de março). A data exata da próxima elongação ocidental máxima de Vênus é 20 de março, mas a discrepância provavelmente se deve as suposições implícitas sobre os elementos orbitais da Terra e de Vênus.