Por Lucas Shoji
Abordaremos nessa ideia algumas ferramentas básicas para resolução de problemas envolvendo eclipses lunares.
Coordenadas da Lua
Quando um eclipse lunar acontece, a Lua está oposta ao Sol. Assim
$$\alpha_S = 180^o+\alpha_L$$ e $$\delta_S = -\delta_L$$
Podemos calcular as coordenadas do Sol em uma certa data no ano, pelo seguinte triângulo:
Pela lei dos senos:
$${\sin\delta_s \over \sin \varepsilon} = {\sin\lambda_s \over \sin 90^o} \Rightarrow \delta_s= \sin^{-1}(\sin\lambda_s \sin \varepsilon)$$
Pela lei das cotangentes:
$$\cos \varepsilon \cos \alpha_s = \sin \alpha_s \cot \lambda_s – \sin \varepsilon \cot 90^o \Rightarrow \alpha_s=\tan^{-1}(\cos\varepsilon \tan\lambda_s)$$
Podemos substituir $$\lambda_s$$, a longitude eclíptica do Sol, por:
$$\lambda_s = \omega_s t = {360^o \over 365, 25} N$$
onde $$N$$ é o número de dias após o equinócio vernal, evento em que $$\lambda_s=0$$. Por exemplo, $$N(1/4) = 11$$ pois a data é aproximadamente 11 dias após o equinócio.
Para obtermos as coordenadas da Lua, basta substituir nas transformações dadas acima.
Duração do eclipse total
Nessa seção vamos estimar o tempo de duração de um eclipse total lunar. Vejamos o seguinte esquema:
O último segmento representa o raio da sombra causada pela Terra, $$\rho$$, no plano da Lua, a distância $$d$$. A Terra está a uma distância $$L$$ do Sol. Por trigonometria:
$$\alpha \approx {R_s-R_t \over L} \approx {R_t-\rho \over d} \Rightarrow \rho= R_t-{d \over L}(R_s-R_t)$$
Podemos também por essa figura ver o limite de distância para que aconteça um eclipse anular lunar, igualando $$\rho$$ a $$R_L$$. Como essa distância limite é maior que $$a_L(1+e_L)$$, portanto essa situação infelizmente nunca acontece com a nossa Lua.
Com $$\rho$$, conseguimos calcular o deslocamento escalar da Lua dentro do cone de sombra da Lua:
$$\Delta S = 2\sqrt{(\rho-R_L)^2-x_{min}^2} = V_L \Delta t$$
Onde $$V_L=\sqrt{GM(2/d-1/a_L)}$$ é a velocidade da Lua, $$\Delta t$$ é a duração do eclipse e $$x_{min}$$ é a mínima distância que a Lua atinge do centro da sombra. Note que não precisamos considerar a velocidade da Terra, pois $$V_L$$ já está no referencial da Terra. Substituindo valores, conseguimos obter $$\Delta t$$ em função dos parâmetrros relevantes.
Quando preciso, $$x_{min}$$ pode ser calculado pela latitude eclíptica da Lua, $$\beta_L$$:
$$x_{min} \approx \beta_L d$$
$$\beta_L$$, por sua vez, pode ser obtido por um método semelhante ao de descobrir as coordenadas do Sol, como mostrado acima. Para isso, basta substituir $$\delta_s$$ por $$\beta_L$$, $$\varepsilon$$ por $$i$$, a inclinação orbital da Lua, e $$\omega_S$$ por $$\omega_L$$, velocidade angular da Lua usando o período sinódico (pois estamos vendo em relação ao Sol). Isso também pode ser usado para estimar quando acontece um eclipse total e quando um parcial. A situação limite é dada igualando $$x_{min}$$ a $$\rho – R_L$$.
Exercícios para treinar essa ideia:
NAO 2019 P2
ROSAOC 2008 P3
Problemas NOIC da semana 52 – Avançado