Astronomia - Ideia: Elipse Degenerada

Por Giovanna Girotto

Εm matemática, um caso degenerado é uma situação limite em que uma classe de objeto se aproxima de outra classe, geralmente mais simples. Por exemplo, um ponto pode ser considerado um círculo degenerado em que o raio tende a zero.

Da mesma maneira, podemos considerar uma reta uma elipse degenerada cujo semieixo menor tende a zero.

Esse conceito é muito útil para a resolução de inúmeros exercícios que inicialmente envolveriam um grande conhecimento de cálculo.

Vamos dar um exemplo:

(Romanian Astronomy and Astrophysis Olympiad, 2014)

Mesmo os antigos gregos sabiam que o tamanho da Terra era pequeno se comparado à distância até as estrelas. Por exemplo, conta-se num mito que o deus Hefestos, por descuido, deixou sua bigorna cair na Terra. A bigorna levou 9 dias inteiros para atingir a Terra. Estime a "altura do céu" dos gregos.

A trajetória original da bigorna seria uma reta que está sujeita a uma gravidade que varia com o tempo, porém, iremos aproximar para uma elipse em que ${b\rightarrow 0}$ e ${e=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\rightarrow 1}$

Nesse caso, a órbita tem semieixo maior ${a= {{h+R_T} \over {2}}}$ onde ${R_T}$ é o raio terrestre e h é a altura do céu.
Fazendo o uso da terceira lei de Kepler e percebendo que o tempo que a bigorna demora para cair Δt é a metade do período, temos:

${{4\pi^2}\over{GM_T}} = {{T^2}\over{a^3}} = {{(2 \Delta t)^2}\over{\big({{h+R_T} \over {2}}}\big)^3}$
onde ${M_T}$ é a massa da Terra.
Isolando o h: ${h = 2\sqrt[3]{{\Delta t^2 G M_T}\over{\pi^2}} - R_T\approx 5.2 \times 10^8m}$

NB! Perceba que essa solução é muito mais simples que a solução que envolve cálculo, e, como a IOAA e OLAA não exigem cálculo, essa seria uma solução válida e até mesmo esperada em um exercício desse tipo. Também vale ressaltar que essa é uma solução aproximada que considera ${h>>R_T}$, validando a afirmação de que o tempo de queda é metade do período. Para o caso não aproximado, veja a solução do problema 5 desta lista feita pelo líder do time Estoniano da IPhO e coordenador geral da EuPhO, Jaan Kalda.

Exercícios recomendados 

• Ipho 2012 - Protostar Formation item 3
• Um corpo é abandonado a uma distância igual ao raio terrestre da superfície da Terra. Calcule o tempo de queda.
• Suponha que a Terra seja atingida por um asteróide que se movia em sentido oposto à velocidade de translação da Terra. Os dois corpos permanecem juntos após a colisão e parados no sistema heliocêntrico de referência. Calcule o tempo que o sistema Terra-Asteróide leva para colidir com o sol.