Por Giulia Nóbrega
Forças de maré
Na maior parte do tempo, quando resolvendo exercícios, assumimos os planetas e seus satélites como pontuais. Se considerarmos no entanto que estes são corpos extensos, a interação gravitacional entre 2 corpos ganha um novo componente: a força de maré. A força de maré nada mais é do que a força correspondente à diferença da aceleração gravitacional entre 2 pontos de um mesmo corpo devido à interação com um outro corpo.
Como podemos ver na figura abaixo, os pontos mais próximos ao corpo 2 sofrem uma força gravitacional maior (em módulo) e, portanto, estão sujeitos a uma aceleração maior.
Analisando para o sistema Terra-Lua, tomemos um ponto na superfície da Terra que não se encontra na reta que une os centros de massa dos 2 corpos. Neste ponto colocaremos uma massa de teste ($$m$$) de tal modo que $$m\ll M_T$$ e $$m\ll M_L$$.
Perceba que temos interesse em analisar a situação no referencial da Terra, uma vez que é o referencial em que estamos. Entretanto, a própria Terra acelera para a direita com aceleração $$\dfrac{GM_L}{r^2}$$ devido à atração gravitacional da Lua. Dessa maneira, para levar em conta que o nosso referencial é não inercial, ou seja, acelera com relação a um referencial inercial, todos os corpos vistos da Terra possuem uma aceleração adicional $$-\dfrac{GM_L}{r^2}$$, que equivale a dizermos que uma força fícticia $$-\dfrac{GM_Lm}{r^2} \hat i$$ aparece em $$m$$. Denotemos essa força $$\vec{F}_C$$, temos assim:
$$\vec{F}_C=-\dfrac{GM_Lm}{r^2} \hat i$$
Para o ponto P, no entanto, a força gravitacional $$(F_P)$$ possui 2 componentes, sendo eles:
$$F_{PX}=\frac {GmM_L}{s^2 } cos\phi$$ (Componente horizontal)
$$F_{PY}=-\frac {GmM_L}{s^2} sen\phi$$ (Componente vertical)
Assim, a força resultante $$\Delta \vec{F}$$ é:
$$\Delta \vec{F}=\vec{F}_P+\vec{F}_C= GmM_L(\frac {cos\phi}{s^2}-\frac{1}{r^2})\hat i-\frac{GmM_L}{s^2}sen\phi \hat j $$
Pela geometria, encontramos $$s^2$$:
$$s^2=(r-Rcos\theta)^2 + (Rsin\theta)^2$$
$$s^2=r^2-2rRcos\theta+R^2sin^2\theta+R^2cos\theta=r^2-2rRcos\theta+R^2$$
Assumindo $$R \ll r$$, temos:
$$s^2=r^2(1-\frac {2R}{r}cos\theta)$$
Tomando que $$(1+x)^{-1}=1-x$$ para $$x\ll 1$$:
$$s^{-2}=\frac{1}{r^2}(1+\frac {2R}{2} cos\theta)$$
Substituindo na equação para a força diferencial:
$$\Delta \vec{F}=\frac {GmM_LR}{r^2}[cos\phi(1+\frac{2R}{r}cos\theta)-1] \hat i – \frac {GmM_L}{r^2}(1+\frac {2R}{r}cos\theta)sen\phi \hat j$$
Temos para $$\phi$$ muito pequeno:
$$cos\phi=1$$
$$R sen\theta=s sen\phi \implies sen \phi = \frac {Rsen\theta}{r}$$
Logo, a força diferencial é:
$$\Delta \vec{F}=\frac{GmM_LR}{r^3}(2cos\theta \hat i-sen\theta \hat j)$$
Em módulo:
$$\Delta F=\frac{GmM_LR}{r^3}\sqrt{(3cos^2\theta+1)}$$
Limite de Roche
Quando tratamos de corpos muito grandes em órbita, as forças de maré acabam por ser maiores entre o núcleo e a superfície deste corpo. Se essas forças forem maiores que a atração gravitacional gerada pela massa do próprio corpo, ele se despedaça.
O máximo raio orbital de um corpo para que ele seja despedaçado pelas forças de maré é chamado de Limite de Roche. Em termos matemáticos, temos para um corpo em órbita de massa $$m$$ e raio $$R$$ a uma distância $$d$$ do corpo que orbita, que possui massa $$M$$ e raio $$R’$$ (Note que estamos utilizando as expressões acima no caso limite em que $$\theta=0$$):
$$\frac{Gm}{R^2}<\frac{2GM}{d^3}$$
A equação acima pode ser interpretada de uma maneira simples. No referencial de $$m$$, uma massa de teste $$\mu$$ que está sobre a sua superfície sofre uma força gravitacional devido ao próprio $$m$$, uma força de contato $$N$$ e a força de maré. No limite de descolamento, $$N=0$$ e temos o equilíbrio entre a força gravitacional e a força de maré, porém caso esta ultrapasse a força gravitacional, temos a equação acima.
Sejam $$\rho$$ e $$\rho ‘$$ as densidades médias do corpo orbitante e do corpo central:
$$\frac{G4\pi R^3}{3R^2}<\frac{2G4\pi R’^3}{3d^3}$$
$$d^3<2\frac{\rho’}{\rho}R’^3$$
Exercícios:
IOAA 2008 Exercício 8
IOAA 2015 Questão Curta 13
SAO 2019 Questão Média 3 (Space City)
Barra do Piraí 2019 Prova P1-Parte 2 Questão 13 (Aplicação da fórmula)
(Morin) Mostre que se o planeta de massa $$m$$ orbitasse $$M$$ em uma órbita síncrona, o novo “limite de Roche” seria:
$$d^3<3\frac{\rho’}{\rho}R’^3$$
Fonte:
B. Carroll and D. Ostlie. An Introduction to Modern Astrophysics. Cambridge University Press, 2nd edition, 2017.
Recomendação de Leitura Adicional: (Por Bruno Makoto):
Introduction to Classical Mechanics. David Morin – Capítulo 10, seção 3 (Tides). Também é recomendado fazer os problemas e exercícios do fim do capítulo