Por Lucas Shoji
Horizonte observado é a linha limite na esfera celeste abaixo da qual não conseguimos enxergar, desprezando a refração atmosférica. Esse círculo pode ser esquematizado pelas figuras abaixo:
Por trigonometria básica, obtemos uma relação da distância angular dessa linha ao horizonte astronômico (linha \(h=0 \)), \(\theta\), com a altura do observador em relação à superfície terrestre, \(H\), da seguinte forma:
$$\theta = \cos^{-1}\bigg({{R_T}\over{R_T+H}}\bigg)$$
Pelo teorema de Pitágoras, conseguimos também a distância até o horizonte:
$$d = \sqrt{(R_T+H)^2-R_T^2}$$
Essa ideia é utilizada em inúmeros exercícios de olimpíadas, abrangendo desde o nível das provas presenciais em Barra do Piraí até as internacionais. Como exemplo, vamos resolver o problema T4 da IOAA 2018:
Altura de uma colina
Dois amigos quiseram quiseram medir a altura de uma colina ao lado de sua vila ($$\phi = 40^o$$). Um dos amigos subiu para o topo da colina e ela combinou de enviar um sinal luminoso para o seu amigo na aldeia, logo que visse o pôr do Sol. Em 21 de março, quando eles fizeram essa experiência, o amigo na aldeia recebeu o sinal luminoso 4.1 minutos após o pôr do Sol na aldeia. Estime a altura da colina e a distância do horizonte até a pessoa no topo da colina. Despreze a refração atmosférica.
Primeiramente, devemos lembrar que em uma latitude $$\phi \ne 0$$ em um equinócio, o pôr do Sol não é vertical. Com isso, obtemos o seguinte triângulo esférico:
onde $$\Delta t = 4.1min$$ e $$\theta$$ é o ângulo entre o horizonte astronômico e o observado. Fazendo uso das equações de trigonometria esférica, descobrimos $$\theta$$:
$${{\sin(90^o-\phi)} \over{\sin \theta}} = {\sin90^o \over{\sin(\Delta t)}} \Rightarrow \theta = \sin^{-1}\bigg({\cos\phi \sin \Delta t}\bigg)$$
Assim, a altura e a distância ao horizonte são, respectivamente:
$$H = \bigg(\sec\bigg(\bigg(\sin^{-1}\bigg({{\cos\phi \sin \Delta t}}\bigg)\bigg)-1\bigg)R_T = 602m$$
$$d = \sqrt{(R_T+H)^2-R_T^2} = 87.6km$$
Exercícios recomendados que aplicam essa ideia:
- IOAA 2008 T5 (IOAA Book p.7)
- Simulado NOIC 9 Ex.3
- IOAA 2014 T16 (IOAA Book p.10)