Por Lucas Shoji
Muitas vezes em astronomia nos deparamos com equações que são difíceis ou impossíveis de serem resolvidos analiticamente, sendo importante o conhecimento dos métodos iterativos para a solução numérica da equação. Existem muitos métodos, dos quais vamos apresentar dois:
1. Iteração de ponto fixo
A iteração de ponto fixo na calculadora consiste em isolar um dos $$x$$ que aparecem na equação, e aplicar repetidamente a função isolada nesse $$x$$. Esse processo pode ser representado pelo seguinte gráfico:
onde a diagonal é a reta $$y=x$$, e o $$x$$ converge para seu valor real. Podemos equacionar também como $$x_{n+1} = f(x_n)$$.
Praticamente, a iteração na calculadora se resume aos seguintes passos:
- Chutar um valor aproximado para a raiz da equação, e colocar esse valor na calculadora.
- Isolar um dos $$x$$ que aparecem na equação, e colocar essa expressão substituindo os $$x$$ por $$Ans$$ na calculadora.
- Apertar repetidamente o botão $$=$$ até convergir em um valor.
- Se não convergir, tentar isolar um outro $$x$$ e repetir o passo 3, e conferir se o valor chutado em 1 é plausível.
- Se ainda não convergir, esse método não funciona para essa equação. Tente outro método numérico ou procure pensar se precisa necessariamente resolver a equação para resolver o exercício
Exemplificando pela equação $$xe^x=10$$:
- $$x \approx 2$$, então apertamos $$2$$ e depois $$=$$. Assim, a calculadora armazenou esse valor na variável $$Ans$$.
- Digitar $$ln\bigg({10\over Ans}\bigg)$$ ou $${10\over e^{Ans}}$$ na calculadora.
- Apertando $$=$$ muitas vezes, percebemos que a primeira equação converge para $$x \approx 1.746$$. Se tivéssemos escolhido a segunda expressão, perceberíamos que essa diverge e tentaríamos isolar o outro $$x$$ (Passo 4), dando o mesmo resultado.
Vamos ver agora a aplicação na astronomia:
Uma estrela tem magnitude absoluta $$M=-2,00$$ e magnitude aparente $$m=8,00$$, localizada numa região de extinção interestelar média $$2,00 mag/kpc$$. Encontre a distância até a estrela.
Escrevendo a equação da magnitude absoluta com extinção:
$$m-M = 5log \big({{d}\over{10pc}}\big) + ad$$
Substituindo os valores e isolando um dos d’s:
$$d = 10^{3-0.0004d}$$ (em parsecs)
Vamos colocar o chute inicial como de $$d \approx 1000pc$$ na variável $$Ans$$, o valor sem a extinção.
(Apertar $$1000$$ e $$=$$)
Colocando os valores na calculadora:
$$10^{3-0.0004Ans}$$
Apertando $$=$$ algumas vezes, descobrimos que o velor converge para algo próximo de $$583,98877$$.
Considerando os algarismos significativos: $$d=584pc$$
Apesar de ser bem prático, esse tipo de iteração pode ser demorado e só funciona para alguns tipos específicos de funções (as polinomiais não estão dentro, por exemplo. Vamos ver agora um outro método, mais trabalhoso porém mais rápido:
2. Método de Newton-Raphson
Esse método é relacionado com a aproximação linear nos pontos que chutamos os valores. Pegamos a tangente (derivada) de uma função $$f(x)$$ para um $$x_0$$, e calculamos a raiz para essa aproximação linear $$f_n(x) = f'(x_0) (x_0-x)$$, e substituímos ela no $$f(x)$$ para repetir o processo. Pelo triângulo abaixo:
$$\tan \beta = f'(x_n) = {{f(x_n)}\over{x_n-x_{n+1}}}$$
Logo:
$$\boxed{x_{n+1} = x_n – {f(x_n)\over{f'(x_n)}}}$$
A animação abaixo pode ajudar na sua compreensão:
Vamos exemplificar pela equação de Kepler:
Qual a anomalia excêntrica do cometa Halley $$t \approx 5,00$$ anos após sua passagem no periélio? É dada a excentricidade de sua órbita, $$e = 0,967$$ e seu período, $$P = 75,3$$ anos.
A anomalia média do cometa é:
$$M = {{2\pi t}\over{P}} = {{2\pi \times 5,00}\over{75,3}} \approx 0,417 rad$$
Podemos armazenar esse valor em uma variável da calculadora, por exemplo na $$M$$.
Derivando a equação de Kepler, que relaciona a anomalia média $$M$$, a anomalia excêntrica $$E$$ e a excentricidade $$e$$:
$$f (E) = e \sin E – E + M \Rightarrow f’ = e \cos E – 1$$
Perceba que estamos procurando o valor de $$E$$ que satisfaz $$f(E)=0$$, ou seja, que obedeça a equação de Kepler, e é justamente isso que a animação representa – a cada etapa ficamos mais próximos do ponto em que $$f(E)$$ é nulo.
Vamos primeiramente chutar a anomalia média $$0,417$$ para o $$x_0$$. (Apertar $$0.417$$ e $$=$$)
Colocando a fórmula na calculadora:
$$Ans + {{0.967 \sin (Ans)-Ans+0,417}\over{1-0.967 \cos (Ans)}}$$
Apertando $$=$$ aproximadamente 5 vezes o valor converge para $$E = 1,36 rad$$. Seria possível resolver essa equação por meio da iteração de ponto fixo, mas demoraria muito mais para convergir. Portanto, é importante sempre pensar quando um método ou outro é melhor/mais rápido para cada situação.
OBS: Não esqueça de colocar sua calculadora no modo RAD (radianos) para esse exemplo.
Exercícios que usam essa ideia como um passo da resolução:
- A magnitude na banda V de uma estrela é $$V = 15,1$$, o índice de cor $$B-V = 1,6$$, e a magnitude absoluta $$V_0 = 1.3$$. A extinção média nessa banda para a direção da estrela é de $$\alpha_v = 1 mag/kpc$$. Qual é a cor intrínseca $$(B-V)_0$$ da estrela?
- T12 IOAA 2017
- Q6 SAO 2016