Astronomia - Ideia: Pressão de Radiação

Por Tiago Mariotto Lucio

Todos os tipos de radiação eletromagnética possuem energia e, consequentemente, momento linear. Logo, ao atingir um objeto, essa radiação exerce uma força em sua superfície. Assim, a pressão de radiação é definida como a força normal por unidade de área exercida pela radiação eletromagnética, que foi absorvida e/ou refletida, por uma superfície. A força exercida por essa radiação é usualmente desprezível, mas, se exercida por um longo período, pode causar perturbações na orbita do corpo, principalmente nos de menores dimensões.

 Cálculo da Variação do Momento Linear

Considerando que as ondas eletromagnéticas são constituídas de pequenas partículas (gás de fótons), a força necessária para colocar em repouso cada partícula é dada por: $F= \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$. Já a quantidade de energia absorvida pela superfície na colisão será: $\Delta U = F\cdot \Delta x$. Combinando as duas equações acima, obtemos uma fórmula que relaciona a variação do momento da partícula com a energia absorvida por uma superfície com albedo nulo ($a=0$):

$\Delta p = \dfrac{\Delta U}{\Delta x} \cdot \Delta t = \dfrac{\Delta U}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}$

$\Delta p = \dfrac{\Delta U}{c}$      (1)

Porém, se a partícula for completamente refletida pela superfície ($a=1$) a variação do momento será o dobro, pois a partícula entra em repouso e, em seguida, volta com um momento linear igual ao original (em módulo):

$\Delta p = \dfrac{2\cdot \Delta U}{c}$      (2)

Cálculo da Pressão de Radiação

Pelo fluxo $S$ e pela potência da onda $P=\dfrac{dU}{dt} = S\cdot A$ obtemos:

$\dfrac{dU}{dt} = S\cdot A \Longrightarrow S = \dfrac{1}{A}\cdot \dfrac{dU}{dt}$      (3)

Logo, com (1) e (3), obtemos que a pressão de radiação exercida na superfície de um corpo negro é:

$P_1 = \dfrac{F}{A} = \dfrac{dp}{dt}\cdot \dfrac{1}{A} = \dfrac{dU}{dt}\cdot \dfrac{1}{A\cdot c}$

$P_1 = \dfrac{S}{c}$

Com (2) e (3) obtemos para o caso que o corpo é um refletor perfeito:

$P_2 = \dfrac{2\cdot S}{c}$

Generalizando:

• Para um corpo de albedo $a$, a pressão de radiação em sua superfície será dada por:

$P = (1-a)\cdot P_1 + a\cdot P_2$

$P = (1-a)\cdot\dfrac{S}{c} + a\cdot\dfrac{2\cdot S}{c}$

$P = (1+a)\cdot\dfrac{S}{c}$

• Para um ângulo de incidência $\theta$, temos a área efetiva $\dfrac{A}{\cos(\theta)}$ e a componente da força perpendicular a superfície $F\cdot \cos(\theta)$ (visto que a componente tangencial $F\cdot \sin(\theta)$, da pressão causada pela radiação absorvida, não é considerada para o cálculo da pressão mas, dependendo do exercício, deve ser considerada no cálculo da Força Resultante):

$\boxed{P = (1+a)\cdot\dfrac{S}{c}\cdot \cos^2{\theta}}$

Outras Fórmulas

Em geral, pode-se demonstrar também que ($u$ é a densidade de energia da radiação):

$P = \dfrac{1}{3}\cdot u$

Além disso, a pressão exercida na superfície de um corpo negro pode ser calculada por:

$P = \dfrac{1}{3}\cdot a\cdot T^4$

Onde $a$ é a constante da radiação:

$a = \dfrac{8\cdot\pi^5\cdot k^4}{15\cdot c^4\cdot h^3} = \dfrac{4\cdot \sigma}{c} \approx 7,565\cdot 10^{-15} erg\cdot cm^{-3}\cdot K^{-4}$

Exemplo:

Partículas esféricas de raio $R < 0,50 \mu m$, densidade $\rho = 1000 kg/m^3$ e albedo $a=0$ (corpo negro) localizadas a uma distância $r$ do Sol seriam propulsionadas na direção contrária a esse, pois a força da pressão de radiação $F_r$ teria um módulo maior que a força gravitacional do Sol $F_G$:

 

$P_{rad} =\dfrac{L_{\odot}}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot c} \Longrightarrow F_r = \dfrac{L_{\odot}\cdot R^2}{4\cdot r^2\cdot c} \approx \dfrac{7,98}{r^2}$

 

$F_G = \dfrac{G\cdot M\cdot m}{r^2} = \dfrac{4\cdot\pi\cdot G\cdot M\cdot \rho\cdot R^3 }{3\cdot r^2} \approx \dfrac{6,95}{r^2}$

$\Rightarrow F_r > F_G$

Curiosidades

• A pressão de radiação incidente na terra sobre uma superfície totalmente absorvedora é de $4,6 \mu Pa$.
• Velas solares são um tipo de propulsão que utilizam a pressão de radiação para se acelerarem. São feitas de materiais refletores de grandes dimensões e, apesar da pressão ser muito pequena, ao longo do tempo chegam a velocidades muito altas.

Fonte: https://www.planetary.org/explore/projects/lightsail-solar-sailing/

• A pressão de radiação e os ventos solares são os responsáveis pela formação da cauda retilínea de gás na direção contrária a do Sol.

Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Comet_tail#/media/File:Cometorbit01.svg

Exercícios para treinar essa ideia:

1.  IOAA (I11 - T08 - B)

2. Um astronauta de $100 kg$ perdido no espaço sideral deseja voltar para sua nave, que está localizada a 10 metros dele. Utilizando somente a pressão proporcionada pela sua lanterna de $10 W$, quanto tempo demoraria para ele chegar ao foguete? Utilize $c= 3\cdot 10^8 m/s^2$.

3. Calcule a aceleração instantânea de uma vela solar em formato de um hemisfério de raio $R$ e massa $M$ a uma distância $r$ do Sol (Luminosidade $L_{\odot}$). Considere que sua superfície tem albedo $\alpha$.

4. Exercício Avançado da Semana 61