Escrito por Mychel Segrini

Iniciante

Uma arcaica observação

Em uma realidade alternativa, Baldemor é um camponês vivendo no equivalente da idade média, em um país de economia avançada. Ele ganhou sua luneta de um senhor de 1818 anos que mora na floresta e vem inventando vários modos de navegar usando as estrelas. Baldemor recebeu hoje um guia com novos sistemas astronômicos de posição e um sextante de precisão considerável. Agora, ele deve aprender com seu mestre como se localizar. Ajude o Baldemor!

(a)  No catálogo astronômico, Baldemor obteve os dados da estrela Denebola \((\delta = 14^{\circ}34^{\prime}19^{\prime \prime}\)). A máxima altura que Denebola teve foi de \(h = 54^{\circ}29^{\prime}47,2^{\prime \prime}\). Qual a latitude “astromômica” de Baldemor?

(b) Para passar o tempo, Baldemor ficou obsevando Spica  \((\delta = – 11^{\circ}09^{\prime}41^{\prime \prime}\)) até ela se pôr. Quanto tempo Baldemor ficou olhando para ela a partir de sua culminação superior?

(c) Após Denebola se pôr, Baldemor observou Spica passar pelo campo de visão da sua luneta. Ela demorou \(\Delta t = 4\, \rm{min}\) para passar pela sua ocular. Qual é seu campo de visão?

Intermediário

Contemplem o mago

O mestre POPS faleceu na floresta após mais um milênio de invenções com seu ajudante Baldemor, que conseguiu fugir de seu feudo e enriquecer com engenharia. POPS nunca conseguiu explicar mecanicamente como os objetos celestes se moviam, mas Baldemor, em homenagem ao seu sensei, terminou seu trabalho e descobriu as 3 Leis de Balde-POPS por observação e uma matemática nova que ele chamou de “cálculo baldesimal”. Após um século estudando sozinho com sua família e filhos, o rico Baldemor está prestes a lançar um satélite – o BaldeSat – com todos os cálculos prontos para explorar o universo. Tudo deu errado quando um mago, enviado pelo seu antigo senhor do feudo, chegou e o amaldiçoou por ter fugido: apagou de sua memória e de seus papéis todos os cálculos que havia feito todos esses anos! Além disso, disse que o satélite seria teleportado em um momento repentino de sua órbita para um local desconhecido e absurdo. Baldemor, com seus 1317 anos, está ficando velho e cansado para fazer novos cálculos. Ajude o Baldemor!

(a) Após certa observação, Baldemor percebeu que a força que mais se adequa ao movimento dos corpos celestes é da forma \(F = \dfrac{Gm_1 m_2}{r^2}\) e, com isso também descobriu a expressão para a energia potencial de um sistema gravitacional. Baldemor agora precisa saber uma segunda expressão para a energia total de um corpo em órbita elíptica – ajude o Baldemor usando conservação da energia!

(b) A partir do resultado anterior, descubra qual é a anomalia verdadeira \(\theta\) de um corpo orbitante em que ele possui a maior velocidade radial, isto é, a maior velocidade de aproximação ao corpo central.

Dica 1 : Para qualquer expressão \(f(x)\), pode-se encontrar seu máximo ou mínimo fazendo \(\dfrac{df}{dx} = 0\).

Dica 2: Da definição do Momento Angular de uma massa pontual em torno de certo ponto, pode-se deduzir que \(L = mr\omega\)

(c) Satisfeito em lembrar como são as órbitas, Baldemor agora quer planejar novamente como será a missão de seu satélite, que é observar as luas de Saturno de pertinho. Para isso, ele estará em órbita geoestacionária e fará uma Transferência de Hohmann até a órbita de Saturno ao redor do Sol. Qual é a velocidade final do BaldeSat e quanto é a soma das variações de velocidade \(\Delta v_i\) em cada uma das manobras?

Dados: Raio da órbita de Saturno (considere ela circular): \(9,58\; \rm{UA}\)

(d) Baldemor lança seu satélite e tudo ocorre como planejado. Porém, quando o satélite dá duas voltas em Saturno, ele logo é teleportado para outra realidade com corpos em forma de cilindros muito longos. Baldemor ainda consegue manter contato com o satélite e até vê as formas estranhas pelas imagens recebidas em sua “telelisão”. Baldemor percebe que a velocidade do satélite é a mesma de quando estava em Saturno. Ele percebe também que o satélite permanece a uma distância constante do cilindro \(a = 4.5\, \rm{UA}\). Qual é a massa por unidade de comprimento do planeta?

Avançado

M4R10

Baldemor criou uma revolução na ciência e fundou a mecânica celeste. Após isso, fez vários feitos importantes, até ficar velho e achar melhor entrar em sono criogênico até que a humanidade fosse explorar o universo por si própria. Após certo tempo, acordaram Baldemor e mostraram a invenção do teletransporte, dizendo que haviam encontrado um planeta habitável. Quando Baldemor pôs o traje e passou pelo portal, uma instabilidade fechou o mecanismo antes que outra pessoa viesse com ele. Com isso, ele agora está sozinho num planeta estranho com um buraco negro grande e saliente. Por sorte, Baldemor trouxe alguns equipamentos de última geração para estudar o buraco negro batizado de M4R10 – inclusive um óculos que consegue enxergar, através do espaço-tempo, M4R10. Ajude o Baldemor!

(a) O planeta dá uma volta em torno de M4R10 a cada \(P = 15 \, \rm{dias}\), sendo sua distância \(a = 30\, \rm{UA}\). Qual a massa de M4R10?

(b) Sendo assim, quanto seria a energia de repouso de M4R10?

(c) Usando um argumento de que a entropia de um buraco negro seria proporcional à sua área superficial (elevada a um expoente 1), calcule a expressão para a entropia de M4R10 em função da velocidade da luz, da constante gravitacional, da constante de Planck, da constante de Boltzmann e de sua massa. Por simplicidade, considere que a constante adimensional vale \(1\)

(d) Derive uma expressão para sua temperatura e calcule também numericamente.

(e) Determine em quanto tempo o buraco negro vai evaporar.

Baldemor deseja ir para casa. Porém, ninguém veio ainda lhe resgatar. Por isso, acha o planeta Terra e o Gol (sua estrela nessa realidade) usando seu telescópio hiper-potente.

(f) Baldemor sabe muito bem que a luminosidade de Gol é \(L = 3,83 \cdot 10^{26} W\), sua magnitude aparente é \(m = -26,7\) quando vista de seu planeta a \(d_G = 1 \, \rm{UA}\) e \(M = 4,8\) é sua magnitude absoluta. Perto de Mario, Baldemor mede uma paralaxe de \(p = 0.09999^{\prime \prime}\) para Gol e um fluxo de \(F = 1,52 \cdot 10^{-11} W/m^2\). Qual é a extinção interestelar por Megaparsec \(a_v\)?

Dados: \(c = 299792458 \, \rm{m/s}\)