Escrita por Heitor Neves Rebouças
Introdução
Até agora vimos no curso de óptica geométrica uma abordagem geométrica e corpuscular da luz para a descrição de fenômenos luminosos. Na Óptica Física será considerado o caráter ondulatório da luz, onde o princípio da independência dos raios de luz não será mais considerado podendo haver interferências entre os raios e fenômenos de difração(consequência do princípio de Huygens como veremos adiante).
Interferência
A interferência vem, fundamentalmente, da linearidade da equação de onda que afirma que se $\psi_1(x, t)$ e $\psi_2(x, t)$ são soluções individuais da equação
$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$$
$\psi_1(x, t) + \psi_2(x, t)$ também é solução em todos os pontos. Sobre isso você só precisa saber que ondas em fase significa que crista está alinhada com crista e vale com vale, para a destrutiva, o inverso (Se você nunca viu essa equação diferencial, não se preocupe, pois não precisará disso para resolver nenhum problema). Vem da equação da onda plana que
$$E(x,t) = A\cos(kx – \omega t + \delta)$$ onde \(k = \frac{\omega}{v}\) ou \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\)
Essa relação matemática entre o espaço e o tempo se torna extremamente útil para resolver problemas de interferência onde duas ondas saem juntas de fontes síncronas, mas percorrem distâncias diferentes até um detector. É o caso clássico do Experimento de Fenda Dupla de Young.
Imagine que a primeira onda percorre uma distância \(x_1\) com tempo de trânsito \(T_1 = \frac{x_1}{v}\), e a segunda percorre uma distância \(x_2\) com tempo de trânsito \(T_2 = \frac{x_2}{v}\). No ponto de encontro, a superposição dos dois campos elétricos no instante \(t\) pode ser descrita em função desses tempos de atraso:
\[E_{\text{total}}(t) = A\cos(\omega(T_1 – t)) + A\cos(\omega(T_2 – t))\]
A diferença de fase (\(\Delta \phi\)) entre as duas ondas no detector depende diretamente da diferença entre esses tempos de trânsito (\(\Delta T\)):
\[\Delta \phi = \omega(T_1 – T_2) = \omega \Delta T\]
Substituindo os tempos em função das distâncias que a luz viajou, a expressão se transforma em:
\[\Delta \phi = \omega \left( \frac{x_1}{v} – \frac{x_2}{v} \right) = \frac{\omega}{v}(x_1 – x_2)\]
Como já discutimos \(k = \frac{\omega}{v}\), a equação se reduz à relação da diferença de caminho óptico espacial:
\[\Delta \phi = k \Delta x\]
Intensidade
Para interferência construtiva (fontes em fase):
\[k(x_2 – x_1) = 2\pi n\]
Isso porque um comprimento de onda se completa a cada múltiplo de 2\pi percorrido.
Para interferência destrutiva (fontes em fase):
\[k(x_2 – x_1) = (2n \pm 1)\pi\]
Para interferência destrutiva (fontes fora de fase / oposição de fase):
\[k(x_2 – x_1) = 2\pi n\]
Onde \(n\) é um número inteiro (\(n = 0, 1, 2, 3, \dots\)) que representa a ordem da franja de interferência.
Em geral, considera-se $r_2 – r_1 = m\lambda$ a condição para uma interferência construtiva.
Observe que isso é justamente o lugar geométrico dos pontos que constituem uma hipérbole para cada n inteiro.
Agora vamos à dedução das expressões de intensidade:
A intensidade (\(I\)) da luz é diretamente proporcional ao quadrado da amplitude do seu campo elétrico (\(I \propto E_0^2\)).
Quando duas ondas se encontram, seus campos elétricos se somam. Podemos representar as amplitudes dessas ondas (\(E_{01}\) e \(E_{02}\)) como vetores girantes chamados fasores, separados por um ângulo que é exatamente a diferença de fase \(\Delta\phi\) entre elas.
A amplitude do campo elétrico resultante (\(E_R\)) da soma desses dois fasores é dada pela Lei dos Cossenos:
\[E_R^2 = E_{01}^2 + E_{02}^2 + 2E_{01}E_{02}\cos(\Delta\phi)\]
Como a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude (\(I \propto E_0^2\)), podemos substituir os termos de campo elétrico por suas respectivas intensidades (\(I_R\), \(I_1\) e \(I_2\)). O termo \(E_{01}E_{02}\) vira a raiz quadrada do produto das intensidades:
\[I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos(\Delta\phi)\]
Essa é a Equação Geral da Interferência. O termo \(2\sqrt{I_1 I_2}\cos(\Delta\phi)\) é chamado de termo de interferência e é ele que define se a luz vai ficar mais forte ou se apagar. A partir dessa equação geral, deduzimos os dois casos extremos (interferência construtiva e destrutiva):
1. Interferência Construtiva (Intensidade Máxima)
Ocorre quando as ondas chegam perfeitamente em fase (\(\Delta\phi = 0, 2\pi, 4\pi \dots\)). Nessas condições, o cosseno atinge seu valor máximo: \(\cos(\Delta\phi) = 1\).
\[I_{\text{máx}} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}(1)\]
Fatorando, chegamos à expressão final:
\[I_{\text{máx}} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2\]
2. Interferência Destrutiva (Intensidade Mínima)
Ocorre quando as ondas chegam em total oposição de fase (\(\Delta\phi = \pi, 3\pi, 5\pi \dots\)). Nessas condições, o cosseno atinge seu valor mínimo: \(\cos(\Delta\phi) = -1\).
\[I_{\text{mín}} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}(-1)\]
\[I_{\text{mín}} = I_1 + I_2 – 2\sqrt{I_1 I_2}\]
Fatorando novamente, temos a expressão para a intensidade mínima:\[I_{\text{mín}} = (\sqrt{I_1} – \sqrt{I_2})^2\]
Caminho Óptico
Sabemos que a frequência espacial k em um meio com índice de refração n é dado por \[k = n \cdot k_0\].
Ao substituir nas equações de interferência, temos:\[k(x_2 – x_1) = n k_0 (x_2 – x_1) = k_0 (nx_2 – nx_1)\] O caminho óptico, então, é dado por \(nx\).
Alterações de fase
A amplitude da onda refletida (\(E_r\)) em função dos índices de refração dos meios (\(n_1\) e \(n_2\)) e da amplitude da onda incidente (\(E_i\)) é dada por:
\[E_r = \left( \frac{n_1 – n_2}{n_1 + n_2} \right) E_i\]
Se a luz estiver viajando de um meio menos refringente para um mais refringente (\(n_2 > n_1\)), o termo entre parênteses será negativo. Isso indica matematicamente que a onda refletida sofre uma inversão de fase de \(\pi\) radianos (\(180^\circ\)), comportando-se como uma reflexão em extremidade fixa.
Aplicações
Interferência em filmes finos
Parte do raio que incide no vidro reflete com inversão de fase considerando (nar<nf) e a onda transmitida é depois refletida na parte de baixo do filme e volta ao ar depois de percorrer um caminho de aproximadamente 2t.
Condição para Interferência Construtiva:
Para que ocorra uma interferência construtiva, as duas ondas precisam se reencontrar perfeitamente em fase. Isso significa que a crista da Onda 1 deve coincidir exatamente com a crista da Onda 2.
Matematicamente, para que duas ondas estejam em fase, a diferença de fase angular (\(\Delta\phi\)) entre elas deve ser um múltiplo par de \(\pi\)(ou seja, \(0, 2\pi, 4\pi, 6\pi \dots\)), o que representa voltas completas na circunferência trigonométrica. A expressão padrão para números pares é:
\[\Delta\phi = 2m\pi\]
(Onde \(m = 0, 1, 2, 3\dots\))
—
Utilizando novamente a relação entre a fase angular e o caminho óptico (\(\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda_0} \cdot \Delta x\)), e aplicando o nosso caminho óptico do filme fino (\(\Delta x = 2nt + \frac{\lambda_0}{2}\)) (o \[\frac{\lambda_0}{2}\] aparece porque uma inversão de fase lá em baixo é equivalente a percorrer esse fator) , igualamos a expressão à condição de número par de \(\pi\):
\[\frac{2\pi}{\lambda_0} \left( 2nt + \frac{\lambda_0}{2} \right) = 2m\pi\]
Simplificando,
\[\frac{4\pi nt}{\lambda_0} + \pi = 2m\pi\]
Agora, isolamos o termo geométrico subtraindo \(\pi\) de ambos os lados da equação:
\[\frac{4\pi nt}{\lambda_0} = 2m\pi – \pi\]
Colocando o \(\pi\) em evidência:
\[\frac{4\pi nt}{\lambda_0} = (2m – 1)\pi\]
Dividindo a equação por 2 (ou multiplicando por \(\lambda_0\)), chegamos à condição final para o máximo de intensidade:
\[2nt = \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda_0\]
Fica de exercício a demonstração para o caso de interferência destrutiva.
Anéis de Newton
Dedução do Raio dos Anéis de Newton
Para deduzir a expressão do raio \(r\) das franjas circulares (Anéis de Newton), partimos da geometria de uma lente esférica de grande raio de curvatura \(R\) apoiada sobre uma superfície plana de vidro. A espessura do filme de ar em qualquer ponto é dada por \(d\), e a distância radial do centro até esse ponto é \(r\).
Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela geometria do sistema, temos a seguinte relação inicial:
\[(R – d)^2 + r^2 = R^2\]
\[(R^2 – 2Rd + d^2) + r^2 = R^2\]
Podemos simplificar a equação subtraindo \(R^2\) de ambos os lados:
\[-2Rd + d^2 + r^2 = 0\]
Isolando o quadrado do raio (\(r^2\)), obtemos:
\[r^2 = 2Rd – d^2\]
Como a lente possui um raio de curvatura \(R\) muito grande, a espessura \(d\) do filme de ar perto do centro é extremamente pequena (\(R \gg d\)). Isso significa que o valor de \(d^2\) é tão minúsculo que se torna desprezível quando comparado ao termo \(2Rd\).
Fazendo a aproximação \(d^2 \approx 0\), a equação se simplifica para:
\[r^2 \approx 2Rd\]
Agora, relacionamos a espessura \(d\) com a natureza da luz. Na reflexão dos Anéis de Newton, a luz sofre uma inversão de fase na superfície inferior (ar-vidro), exatamente como vimos nos filmes finos.
Para o caso de Anéis Escuros (Interferência Destrutiva), a condição para a espessura do filme de ar é:
\[2d = m\lambda\]
(Onde \(m = 0, 1, 2, 3\dots\) é a ordem do anel e \(\lambda\) é o comprimento de onda no vácuo).
Substituindo o termo \(2d\) diretamente na nossa equação aproximada do raio:
\[r^2 = (2d)R \implies r^2 = (m\lambda)R\]
\[r = \sqrt{m\lambda R}\]
Fica de exercício o caso das franjas claras