Quadriláteros Cíclicos 1

Definição: Um quadrilátero $$ABCD$$ é ciclico se existe um círculo $$\Gamma$$ passando por seus 4 Vértices. $$\Gamma$$ é chamado o Circuncírculo de $$ABCD$$.

Fato 0: Sejam $$A,B,C$$ pontos em um circulo de centro $$O$$. Então $$\angle BOC=2\cdot\angle BAC$$.

            

Fato 1: Se $$ABCD$$ é um quadrilátero cíclico, $$\angle BAD+\angle DCB=180^o$$.

Prova: Usando o Fato 0:

\[\angle BAD=\frac{\angle BOD}{2}\text{ (o angulo que contem C)}\]

\[\angle DCB=\frac{\angle DOB}{2}\text{ (o angulo que contem A)}\]

\[\angle BAD+\angle BCD=\frac{\angle DOB+\angle BOD}{2}=\frac{360^o}{2}=180^o\]

OBS: Analogamente, $$\angle ABC+\angle CDA=180^o$$

Fato 2: Se $$ABCD$$ é um quadrilátero cíclico, $$\angle BAD=\angle BCD$$.Ou seja, os ângulos que “olham” pro mesmo segmento, tem a mesma medida.

Prova: Usando novamente o Fato 0:

\[\angle BAD=\frac{\angle BOD}{2}=\angle BCD\]

OBS: Analogamente:

\[\angle ACB=\angle ADB\\ \angle BAD=\angle BCD\\ \angle ABD=\angle ACD\]

Fato 3: Se $$ABCD$$ é um quadrilatero qulquer tal que $$\angle ABC+\angle CDA=180^o$$ ou $$\angle BAD=\angle BCD$$, então $$ABCD$$ é um quadrilatero ciclico.

Prova: Mostramos a prova do caso $$\angle ABC+\angle CDA=180^o$$, já que o outro caso é análogo e deve ser resolvido pelo leitor como um exercício.

Seja $$\Gamma$$ o circuncirculo do triângulo $$ABC$$, e suponha que $$D$$ não pertence a $$\Gamma$$. Seja então $$D’\neq D$$ a segunda interseção de $$CD$$ com $$\Gamma$$. Pelo Lemma 1 sabemos que $$\angle CD’A=180^o-\angle ABC=\angle CDA$$. Mas então $$C,D,D’$$ estão na mesma reta e $$\angle ADC=\angle AD’C$$. Logo $$D’=D\rightarrow$$ contradição, pois assumimos $$D\neq D’$$. Então nossa suposição estava errada e $$D$$ está de fato em $$\Gamma$$, e está provado o Fato.

A primeira vista estes podem parecer fatos banais, mas não é um exagero dizer que conhecimento de quadriláteros ciclicos é parte essencial de 60% de todos problemas de geometria a partir do 9º ano.

Problemas:

1. Dado um triângulo $$ABC$$ e $$\Gamma$$ seu circuncirculo. Seja $$H$$ o encontro das alturas relativas aos vértices $$B$$ e $$C$$. Seja $$H’$$ a reflexão de $$H$$ por $$BC$$. Prove que $$H’$$ pertence a $$\Gamma$$.
2. Dado um triângulo $$ABC$$ e $$\Gamma$$ seu circuncírculo. Dados pontos $$X$$ sobre $$AB$$ e $$Y$$ sobre $$AC$$ tais que o quadrilátero $$BCYX$$ é cíclico, prove que $$AO\perp XY$$ (esse simbolo representa perpendicularidade), onde $$O$$ é o centro de $$\Gamma$$.
3. Dado um triângulo $$ABC$$ e $$AD,BE,CF$$ suas alturas, e $$H$$ o encontro das 3 (o ortocentro de $$ABC$$). Prove que os seguintes quadriláteros são cíclicos:
   1. $$BCEF,CAFD$$ e $$ABDE$$.
   2. $$AFHE,BDHF$$ e $$CEHD$$.
   3. Encontre os centros dos quadriláteros acima.