Por Lucas Shoji
Nesse capítulo apresentaremos alguns conceitos importantes, sendo eles a luminosidade, o fluxo, a densidade de fluxo, o brilho superficial e a intensidade. Os três últimos não costumam ser cobrados na seletiva presencial de Barra do Piraí, então você não precisa compreender eles totalmente se estiver com pressa nessa fase.
Luminosidade e Fluxo
A luminosidade ($$L$$) é a energia eletromagnética total que um corpo emite por unidade de tempo, ou seja, uma potência luminosa. Assim, a luminosidade é $$L=dE/dt$$, muitas vezes aproximada para $$L \approx \Delta E /\Delta t$$. As unidades utilizadas principalmente são o watt ($$W$$), do SI, e o $$erg*s^{-1}$$, das unidades cgs. É importante notar que a luminosidade não depende do quão longe estamos do corpo, diferentemente do fluxo, conceito que veremos a seguir.
O fluxo ($$F$$) ou irradiância ($$S$$) é a energia incidida em uma dada superfície por unidade de tempo por unidade de área: $$dE =F dA dt$$ (Figura abaixo). As unidades principais do fluxo são o $$W*m^{-2}$$ e o $$erg*s^{-1}*cm^{-2}$$. Em exercícios, normalmente a emissão de luz é isotrópica (não depende da direção) e o fluxo se reduz à razão da luminosidade (energia total) pela área total emitida ($$4 \pi r^2$$, se estivermos a uma distância $$r$$ do corpo emissor). Representando matematicamente, $$F=\frac{L}{4 \pi r^2}$$, sendo possível ver que o fluxo cai com o quadrado da distância ao corpo – assim como o “brilho” subjetivo do dia a dia. Quanto mais distante estamos de um objeto luminoso, a luminosidade é distribuída por uma área maior e menos brilhante o objeto é. Assim, quando um exercício de astronomia fala de “brilho”, está falando de fluxo. É importante ressaltar também que a área considerada no cálculo do fluxo é a área transversal, ou seja, perpendicular à transmissão de energia (Figura à direita).
A lei de Stefan-Boltzman diz que o fluxo na superfície de um corpo negro é $$F=\sigma T^4$$. Considerando o mesmo para as estrelas, e assumindo-as esféricas, temos:
$$F=\frac{L}{4\pi R^2}=\sigma T_{ef}^4 \Rightarrow L=4 \pi R^2 \sigma T_{ef}^4$$
sendo $$R$$ o raio da estrela e $$T_{ef}$$ a temperatura efetiva da estrela, visto que ela não está exatamente em equilíbrio termodinâmico.
Densidade de fluxo, brilho superficial e intensidade
Muitas vezes, queremos saber o fluxo em um intervalo específico de frequências, entre $$\nu$$ e $$\nu +d\nu$$. Podemos definir a densidade de fluxo ($$S_\nu$$), irradiância espectral ou fluxo monocromático ($$F_\nu$$) como sendo esse fluxo limitado por um intervalo de frequências:
$$dE=F_\nu dA d\nu dt$$
Na maioria dos exercícios de astronomia, é utilizada a média da irradiância espectral, com isso $$S_\nu \approx \frac{\Delta E}{\Delta \nu \Delta A \Delta t}$$. Também, podemos definir um conceito similar num intervalo de comprimento de onda, $$S_\lambda$$. É válida a relação
$$F=\int_0^\infty S_\nu d\nu =\int_0^\infty S_\lambda d\lambda$$.
As unidades mais comuns para a irradiância espectral são, para a frequência, o $$W*Hz^{-1}*m^{-2}$$ e o Jansky ($$1 Jy = 10^{-26} \frac{W}{{Hz}*m^2}$$), e para o comprimento de onda o $$W*m^{-3}$$ e o $$W*m^{-2}*{nm}^{-2}$$.
Para corpos extensos, costumamos definir um brilho superficial ($$B$$) como o fluxo dividido pela área do céu em que ele ocupa: $$B= S / \omega$$, onde $$\omega$$ é o ângulo sólido, um equivalente 3D do ângulo (ver figura abaixo). Note que o brilho superficial não varia com a distância, pois o ângulo sólido também cai com a distância ao quadrado. É possível também definirmos um brilho superficial espectral, de forma análoga ao fluxo monocromático.
A maioria dos livros define também um conceito mais geral chamado intensidade ($$I$$) ou radiância, que é a potência por unidade de área por unidade de ângulo sólido em uma dada direção. É possível provar (Cap.4, Karttunen) que a intensidade se iguala ao brilho superficial a distâncias muito grandes e com emissão isotrópica. Infelizmente (talvez felizmente), o conceito de intensidade não é tão cobrado em olimpíadas, e a maior parte dos exercícios desse assunto são sobre calcular a radiância espectral por uma das aproximações da lei de Planck (vide capítulo de Astrofísica estelar e planetária), igualando isso ao brilho superficial. Na física, o nome intensidade é usado para o fluxo, e o nome fluxo radiante para luminosidade, então cuidado com os nomes.
Exercícios
1. Se a Lua reflete cerca de $$7$$% da luz solar incidida, por que a luz da Lua é 100 mil vezes mais fraca que a do Sol?
2. Qual tem maior brilho superficial, Betelgeuse, Vênus ou sua mão? (Não olhe a tabela de constantes!)
3. Qual o valor da constante solar, o fluxo solar na superfície terrestre? Dê sua resposta em erg/s*cm².
4. Sobre a nossa Lua, responda:
a) Por quantas vezes o Sol é mais brilhante que a Lua Cheia?
b) Qual o brilho superficial da Lua?
Dados: $$L_\odot=3,828*10^{26} $$W, $$1$$UA $$=1,496*10^{11} $$m, $$a_{Lua}=0,002572$$UA, $$R_{Lua}=1737$$km, $$\alpha_{Lua}=0,136$$.